Номер 452, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 452, страница 108.

452. Упростите выражение:

a) $\sqrt{\frac{b+1}{2} - \sqrt{b}} - \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}}$, где $b \ge 1$;

б) $\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} - \sqrt{\frac{c+4}{4} - \sqrt{c}}$, где $c \ge 4$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{b+1}{2} - \sqrt{b}} - \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}}$ при $b \geq 1$, преобразуем выражения под знаками корня, выделив полные квадраты. Рассмотрим первое подкоренное выражение: $\frac{b+1}{2} - \sqrt{b} = \frac{b+1-2\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 1 + 1^2}{2} = \frac{(\sqrt{b}-1)^2}{2}$. Следовательно, первый член исходного выражения равен $\sqrt{\frac{(\sqrt{b}-1)^2}{2}} = \frac{|\sqrt{b}-1|}{\sqrt{2}}$. Поскольку по условию $b \geq 1$, то $\sqrt{b} \geq 1$, а значит $\sqrt{b}-1 \geq 0$. Таким образом, $|\sqrt{b}-1| = \sqrt{b}-1$, и первый член равен $\frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}}$. Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: $\frac{b+1}{2} + \sqrt{b} = \frac{b+1+2\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{b})^2 + 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 1 + 1^2}{2} = \frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2}$. Второй член исходного выражения равен $\sqrt{\frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2}} = \frac{|\sqrt{b}+1|}{\sqrt{2}}$. Так как $b \geq 1$, выражение $\sqrt{b}+1$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{b}+1| = \sqrt{b}+1$. Второй член равен $\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}}$. Подставим полученные выражения в исходное: $\frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{b}-1) - (\sqrt{b}+1)}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{b}-1 - \sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} - \sqrt{\frac{c+4}{4} - \sqrt{c}}$ при $c \geq 4$, воспользуемся тем же методом. Рассмотрим первое подкоренное выражение: $\frac{c+4}{4} + \sqrt{c} = \frac{c+4+4\sqrt{c}}{4} = \frac{(\sqrt{c})^2 + 2 \cdot \sqrt{c} \cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4}$. Следовательно, первый член равен $\sqrt{\frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4}} = \frac{|\sqrt{c}+2|}{2}$. Поскольку $c \geq 4$, выражение $\sqrt{c}+2$ всегда положительно. Значит, первый член равен $\frac{\sqrt{c}+2}{2}$. Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: $\frac{c+4}{4} - \sqrt{c} = \frac{c+4-4\sqrt{c}}{4} = \frac{(\sqrt{c})^2 - 2 \cdot \sqrt{c} \cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4}$. Второй член равен $\sqrt{\frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4}} = \frac{|\sqrt{c}-2|}{2}$. По условию $c \geq 4$, следовательно $\sqrt{c} \geq \sqrt{4} = 2$, откуда $\sqrt{c}-2 \geq 0$. Таким образом, $|\sqrt{c}-2| = \sqrt{c}-2$. Второй член равен $\frac{\sqrt{c}-2}{2}$. Подставим полученные выражения в исходное: $\frac{\sqrt{c}+2}{2} - \frac{\sqrt{c}-2}{2} = \frac{(\sqrt{c}+2) - (\sqrt{c}-2)}{2} = \frac{\sqrt{c}+2 - \sqrt{c}+2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $2$.