Номер 454, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 454, страница 109.

454. Известно, что числа $a$ и $b$ натуральные. Является ли натуральным число:

а) $a + b$;

б) $a - b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$?

а) a + b;

По определению, натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете: $1, 2, 3, ...$ и так далее. Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Сумма двух натуральных чисел всегда будет натуральным числом. Это связано с тем, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения. При сложении двух положительных целых чисел мы всегда получаем положительное целое число.
Например, если $a = 12$ и $b = 7$, то $a + b = 12 + 7 = 19$. Число $19$ является натуральным.
Ответ: да, является.

б) a – b;

Разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Рассмотрим возможные случаи:

• Если $a > b$, то разность $a - b$ будет натуральным числом. Например, если $a = 10$ и $b = 3$, то $a - b = 7$, что является натуральным числом.
• Если $a = b$, то разность $a - b$ равна нулю ($0$), а ноль не является натуральным числом. Например, если $a = 5$ и $b = 5$, то $a - b = 0$.
• Если $a < b$, то разность $a - b$ будет отрицательным числом, которое также не является натуральным. Например, если $a = 4$ и $b = 9$, то $a - b = -5$.

Так как существуют случаи, когда результат не является натуральным числом, то в общем случае разность $a-b$ не является натуральным числом.
Ответ: нет, не всегда.

в) ab;

Произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Множество натуральных чисел замкнуто относительно операции умножения. Умножение двух положительных целых чисел всегда дает в результате положительное целое число.
Например, если $a = 5$ и $b = 6$, то $ab = 5 \times 6 = 30$. Число $30$ является натуральным.
Ответ: да, является.

г) $\frac{a}{b}$?

Частное от деления одного натурального числа на другое не всегда является натуральным числом. Результат деления будет натуральным числом только в том случае, если число $a$ делится на число $b$ без остатка (т.е. $a$ кратно $b$).

• Если $a$ делится на $b$ нацело, то частное будет натуральным числом. Например, если $a = 20$ и $b = 4$, то $\frac{a}{b} = \frac{20}{4} = 5$, что является натуральным числом.
• Если $a$ не делится на $b$ нацело, то частное будет дробным (рациональным) числом. Например, если $a = 2$ и $b = 3$, то $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$. Это число не является натуральным.

Таким образом, частное двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом.
Ответ: нет, не всегда.