Номер 447, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 447, страница 108.

447. Упростите выражение, вычислив предварительно значение $a^2$, если:

а) $a = \sqrt{11+\sqrt{85}} - \sqrt{11-\sqrt{85}};$

б) $a = \sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}}.$

а)

Дано выражение $a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Согласно условию, сначала вычислим значение $a^2$. Для этого возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 = (\sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}})^2$

$a^2 = (\sqrt{11 + \sqrt{85}})^2 - 2 \cdot \sqrt{11 + \sqrt{85}} \cdot \sqrt{11 - \sqrt{85}} + (\sqrt{11 - \sqrt{85}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{11 + \sqrt{85}})^2 = 11 + \sqrt{85}$

$(\sqrt{11 - \sqrt{85}})^2 = 11 - \sqrt{85}$

Для среднего члена используем свойство корней $\sqrt{u} \cdot \sqrt{v} = \sqrt{u \cdot v}$ и формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$:

$2 \cdot \sqrt{11 + \sqrt{85}} \cdot \sqrt{11 - \sqrt{85}} = 2 \cdot \sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 - \sqrt{85})} = 2 \cdot \sqrt{11^2 - (\sqrt{85})^2} = 2 \cdot \sqrt{121 - 85} = 2 \cdot \sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение для $a^2$:

$a^2 = (11 + \sqrt{85}) - 12 + (11 - \sqrt{85})$

$a^2 = 11 + \sqrt{85} - 12 + 11 - \sqrt{85}$

$a^2 = 22 - 12 = 10$

Мы получили, что $a^2 = 10$. Следовательно, $a$ может быть равно $\sqrt{10}$ или $-\sqrt{10}$.

Чтобы определить знак $a$, сравним уменьшаемое и вычитаемое в исходном выражении: $\sqrt{11 + \sqrt{85}}$ и $\sqrt{11 - \sqrt{85}}$. Так как $11 + \sqrt{85} > 11 - \sqrt{85}$, и функция квадратного корня является возрастающей, то $\sqrt{11 + \sqrt{85}} > \sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Следовательно, разность $a$ является положительным числом.

Таким образом, $a = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.

б)

Дано выражение $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$.

Вычислим значение $a^2$. Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})^2$

$a^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} + (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5}$

$(\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 = 3 - \sqrt{5}$

Для среднего члена используем свойство корней и формулу разности квадратов:

$2 \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} = 2 \cdot \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = 2 \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = 2 \cdot \sqrt{9 - 5} = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение для $a^2$:

$a^2 = (3 + \sqrt{5}) + 4 + (3 - \sqrt{5})$

$a^2 = 3 + \sqrt{5} + 4 + 3 - \sqrt{5}$

$a^2 = 6 + 4 = 10$

Мы получили, что $a^2 = 10$. Следовательно, $a$ может быть равно $\sqrt{10}$ или $-\sqrt{10}$.

Чтобы определить знак $a$, посмотрим на исходное выражение. Оба слагаемых, $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ и $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$, являются положительными числами (подкоренное выражение $3 - \sqrt{5} > 0$, так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$). Сумма двух положительных чисел является положительным числом.

Таким образом, $a = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.