Номер 2, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 105.

2. На примере выражения $\sqrt{8a}$ покажите, как можно вынести множитель за знак корня.

Чтобы вынести множитель за знак корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения множителей таким образом, чтобы из одного или нескольких из них можно было извлечь корень. Рассмотрим этот процесс на примере выражения $\sqrt{8a}$.

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения на множители. Подкоренное выражение — это $8a$. Наша задача — найти в нем множитель, который является полным квадратом. Разложим число 8 на множители. Его можно представить как $4 \cdot 2$. Множитель 4 является полным квадратом, так как $2^2 = 4$. Таким образом, мы можем переписать выражение под корнем: $\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a}$

Шаг 2: Применение свойства корня из произведения. Согласно свойству корня, корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$). Применим это свойство к нашему выражению, сгруппировав множители: $\sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a}$

Шаг 3: Извлечение корня и запись результата. Теперь вычислим значение корня из полного квадрата: $\sqrt{4} = 2$. Полученное число 2 выносится за знак корня и становится коэффициентом перед ним. Множители, из которых корень не извлекается ($2a$), остаются под знаком корня. В результате получаем: $2\sqrt{2a}$

Таким образом, мы продемонстрировали, как вынести множитель за знак корня. Вся последовательность действий выглядит так: $\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}$.

Ответ: $2\sqrt{2a}$