Номер 438, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 438, страница 104.

438. Докажите, что числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются взаимно обратными, а числа $2\sqrt{6} - 5$ и $\frac{1}{2\sqrt{6} + 5}$ — противоположными.

Докажите, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются взаимно обратными

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы доказать утверждение, необходимо найти произведение данных чисел и проверить, равно ли оно единице.

Найдем произведение $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Поскольку произведение данных чисел равно 1, они действительно являются взаимно обратными.

Ответ: Утверждение доказано, так как произведение чисел $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$ равно 1.

а числа $2\sqrt{6}-5$ и $\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$ — противоположными

Два числа называются противоположными, если их сумма равна 0. Чтобы доказать это утверждение, найдем сумму данных чисел.

Сначала преобразуем второе число $\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2\sqrt{6}-5$.

$\frac{1}{2\sqrt{6}+5} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{6}-5)}{(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)}$

В знаменателе снова используем формулу разности квадратов:

$\frac{2\sqrt{6}-5}{(2\sqrt{6})^2 - 5^2} = \frac{2\sqrt{6}-5}{4 \cdot 6 - 25} = \frac{2\sqrt{6}-5}{24 - 25} = \frac{2\sqrt{6}-5}{-1} = -(2\sqrt{6}-5) = 5-2\sqrt{6}$.

Теперь, когда второе число упрощено, найдем сумму:

$(2\sqrt{6}-5) + (5-2\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 5 + 5 - 2\sqrt{6} = 0$.

Сумма данных чисел равна 0, следовательно, они являются противоположными.

Ответ: Утверждение доказано, так как сумма чисел $(2\sqrt{6}-5) + (\frac{1}{2\sqrt{6}+5})$ равна 0.