Номер 434, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 434, страница 104.

434. Докажите, что значение выражения:

a) $\frac{1}{3\sqrt{3}-4} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4}$ есть число рациональное;

б) $\frac{1}{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{5+2\sqrt{6}}$ есть число иррациональное.

а) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его упростить. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 3\sqrt{3}$ и $b = 4$.

Вычислим знаменатель:

$(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4) = (3\sqrt{3})^2 - 4^2 = 9 \cdot 3 - 16 = 27 - 16 = 11$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{3\sqrt{3}-4} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4} = \frac{1 \cdot (3\sqrt{3}+4)}{11} - \frac{1 \cdot (3\sqrt{3}-4)}{11} = \frac{(3\sqrt{3}+4) - (3\sqrt{3}-4)}{11}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$3\sqrt{3}+4 - 3\sqrt{3}+4 = 8$.

В результате получаем дробь $\frac{8}{11}$.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Число $\frac{8}{11}$ полностью соответствует этому определению. Следовательно, значение исходного выражения является рациональным числом.

Ответ: значение выражения равно $\frac{8}{11}$, что является рациональным числом.

б) Чтобы доказать, что значение выражения является иррациональным числом, упростим его, приведя дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5$ и $b = 2\sqrt{6}$.

Вычислим знаменатель:

$(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{1}{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{5+2\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot (5+2\sqrt{6})}{1} - \frac{1 \cdot (5-2\sqrt{6})}{1} = (5+2\sqrt{6}) - (5-2\sqrt{6})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5+2\sqrt{6} - 5+2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.

В результате мы получили число $4\sqrt{6}$.

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. Число $\sqrt{6}$ иррационально, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 6. Произведение ненулевого рационального числа (4) и иррационального числа ($\sqrt{6}$) всегда является иррациональным числом. Следовательно, значение исходного выражения, равное $4\sqrt{6}$, является иррациональным числом.

Ответ: значение выражения равно $4\sqrt{6}$, что является иррациональным числом.