Номер 440, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 440, страница 104.

440. Упростите выражение $\frac{9-x^2}{4x} \cdot \frac{8x}{x^2+6x+9} - 2$ и найдите его значение при $x = -2,5$.

Упрощение выражения

Исходное выражение: $ \frac{9-x^2}{4x} \cdot \frac{8x}{x^2+6x+9} - 2 $

Для упрощения выражения сначала разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Числитель $9-x^2$ является разностью квадратов: $9-x^2 = 3^2 - x^2 = (3-x)(3+x)$

Знаменатель $x^2+6x+9$ является полным квадратом суммы: $x^2+6x+9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:

$ \frac{(3-x)(3+x)}{4x} \cdot \frac{8x}{(x+3)^2} - 2 $

Теперь выполним умножение дробей, сократив общие множители. Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями $4x \neq 0$ и $x^2+6x+9 \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

$ \frac{(3-x)(x+3)}{4x} \cdot \frac{8x}{(x+3)(x+3)} - 2 = \frac{3-x}{\sout{4x}} \cdot \frac{2 \cdot \sout{4x}}{x+3} - 2 = \frac{2(3-x)}{x+3} - 2 $

Приведем полученное выражение к общему знаменателю $(x+3)$:

$ \frac{2(3-x)}{x+3} - \frac{2(x+3)}{x+3} = \frac{2(3-x) - 2(x+3)}{x+3} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{6 - 2x - 2x - 6}{x+3} = \frac{-4x}{x+3} $

Ответ: $ -\frac{4x}{x+3} $

Нахождение значения выражения

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = -2,5$. Это значение входит в область допустимых значений.

Подставим $x = -2,5$ в выражение $ -\frac{4x}{x+3} $:

$ -\frac{4 \cdot (-2,5)}{-2,5 + 3} = -\frac{-10}{0,5} = \frac{10}{0,5} = 20 $

Ответ: 20