Номер 437, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 437, страница 104.

437. Докажите, что:

а) $\sqrt{\frac{3}{5}} = 0,2\sqrt{15};$

б) $\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}.$

а)

Для доказательства тождества $\sqrt{\frac{3}{5}} = 0.2\sqrt{15}$ преобразуем левую и правую части равенства и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

1. Преобразуем левую часть. Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ и избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

2. Преобразуем правую часть. Представим десятичную дробь $0.2$ в виде обыкновенной дроби:

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Тогда правая часть равна:

$0.2\sqrt{15} = \frac{1}{5}\sqrt{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Поскольку после преобразований левая и правая части равенства оказались равны одному и тому же выражению $\frac{\sqrt{15}}{5}$, исходное тождество является верным.

Ответ: Доказано.

б)

Для доказательства тождества $\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}$ преобразуем его левую часть. Заметим, что область допустимых значений переменной $a$ для данного равенства определяется условием $a > 0$, так как подкоренное выражение должно быть положительным, а знаменатель не должен равняться нулю.

1. Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$

2. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{a}$:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2a}}{a}$

3. Полученное выражение $\frac{\sqrt{2a}}{a}$ можно записать в виде $\frac{1}{a}\sqrt{2a}$, что в точности совпадает с правой частью исходного равенства.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказано.