Номер 439, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 439, страница 104.

439. Среди чисел $15\sqrt{3}-4\sqrt{2}$, $6-\sqrt{12}$, $\sqrt{80}-5\sqrt{3}$, $\sqrt{75}-4\sqrt{5}$,

$\frac{1}{2\sqrt{3}-6}$, $\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}$ есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.

Для того чтобы найти пары взаимно обратных и противоположных чисел среди предложенных, необходимо сначала упростить каждое выражение, приведя его к наиболее простому виду.

Упростим данные числа:

1. $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ — данное выражение уже упрощено.
2. $6 - \sqrt{12} = 6 - \sqrt{4 \cdot 3} = 6 - 2\sqrt{3}$.
3. $\sqrt{80} - 5\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 5} - 5\sqrt{3} = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$.
4. $\sqrt{75} - 4\sqrt{5} = \sqrt{25 \cdot 3} - 4\sqrt{5} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}$.
5. $\frac{1}{2\sqrt{3} - 6}$ — оставим это выражение без изменений для сравнения.
6. $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} = \frac{1}{\sqrt{225 \cdot 3} - \sqrt{16 \cdot 2}} = \frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}$.

Теперь, имея упрощенные формы выражений, найдем искомые пары.

Пара взаимно обратных чисел

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1. Если одно число равно $a$, то обратное ему равно $\frac{1}{a}$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что число (1), $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$, является знаменателем в упрощенной форме числа (6). Следовательно, эти два числа являются взаимно обратными.

Проверим их произведение:

$(15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}\right) = 1$.

Таким образом, первая искомая пара состоит из исходных чисел $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$.

Ответ: пара взаимно обратных чисел — $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$.

Пара противоположных чисел

Противоположные числа — это два числа, сумма которых равна 0. Если одно число равно $a$, то противоположное ему равно $-a$.

Рассмотрим упрощенные выражения (3) и (4):

• Число (3): $4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$.
• Число (4): $5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}$.

Можно заметить, что $5\sqrt{3} - 4\sqrt{5} = -(4\sqrt{5} - 5\sqrt{3})$.

Проверим их сумму:

$(4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 0$.

Сумма равна нулю, значит, эти числа являются противоположными. Они соответствуют исходным выражениям $\sqrt{80} - 5\sqrt{3}$ и $\sqrt{75} - 4\sqrt{5}$.

Ответ: пара противоположных чисел — $\sqrt{80} - 5\sqrt{3}$ и $\sqrt{75} - 4\sqrt{5}$.