Номер 431, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 431, страница 103.

431. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{x}{\sqrt{5}}; $

б) $ \frac{3}{\sqrt{b}}; $

в) $ \frac{2}{7\sqrt{y}}; $

г) $ \frac{a}{b\sqrt{b}}; $

д) $ \frac{4}{\sqrt{a+b}}; $

е) $ \frac{1}{\sqrt{a-b}}; $

ж) $ \frac{5}{2\sqrt{3}}; $

з) $ \frac{8}{3\sqrt{2}}; $

и) $ \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}. $

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x}{\sqrt{5}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{5}$. В результате получим:$\frac{x}{\sqrt{5}} = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{x\sqrt{5}}{5}$.Знаменатель стал рациональным числом.
Ответ: $\frac{x\sqrt{5}}{5}$

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt{b}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$ (при условии $b>0$):$\frac{3}{\sqrt{b}} = \frac{3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{3\sqrt{b}}{b}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{b}}{b}$

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{7\sqrt{y}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{y}$ (при условии $y>0$):$\frac{2}{7\sqrt{y}} = \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{7\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{7y}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{y}}{7y}$

г) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{b\sqrt{b}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$ (при условии $b>0$):$\frac{a}{b\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b \cdot b} = \frac{a\sqrt{b}}{b^2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

д) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{a+b}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a+b}$ (при условии $a+b>0$):$\frac{4}{\sqrt{a+b}} = \frac{4 \cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a+b}} = \frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}$

е) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{a-b}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a-b}$ (при условии $a-b>0$):$\frac{1}{\sqrt{a-b}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b} \cdot \sqrt{a-b}} = \frac{\sqrt{a-b}}{a-b}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a-b}}{a-b}$

ж) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{2\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$\frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{6}$

з) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{8}{3\sqrt{2}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$\frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6}$.Полученную дробь можно сократить на 2:$\frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

и) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5 \cdot 2}}{5 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$