Номер 424, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 424, страница 102.

424. Выполните действия:

a) $ (2\sqrt{5}+1)(2\sqrt{5}-1); $

б) $ (5\sqrt{7}-\sqrt{13})(\sqrt{13}+5\sqrt{7}); $

в) $ (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}); $

г) $ (1+3\sqrt{5})^2; $

д) $ (2\sqrt{3}-7)^2; $

е) $ (2\sqrt{10}-\sqrt{2})^2. $

а)

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 1$.

Подставим значения в формулу:

$(2\sqrt{5} + 1)(2\sqrt{5} - 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 1 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$.

Ответ: 19

б)

Для удобства поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(5\sqrt{7} - \sqrt{13})(\sqrt{13} + 5\sqrt{7}) = (5\sqrt{7} - \sqrt{13})(5\sqrt{7} + \sqrt{13})$.

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5\sqrt{7}$ и $b = \sqrt{13}$.

$(5\sqrt{7})^2 - (\sqrt{13})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 13 = 25 \cdot 7 - 13 = 175 - 13 = 162$.

Ответ: 162

в)

Поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$.

Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 3\sqrt{2}$ и $b = 2\sqrt{3}$.

$(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$.

Ответ: 6

г)

Здесь мы используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 1$ и $b = 3\sqrt{5}$.

$(1 + 3\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 9 \cdot 5 = 1 + 6\sqrt{5} + 45 = 46 + 6\sqrt{5}$.

Ответ: $46 + 6\sqrt{5}$

д)

Для этого примера нам понадобится формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 7$.

$(2\sqrt{3} - 7)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 7 + 7^2 = 4 \cdot 3 - 28\sqrt{3} + 49 = 12 - 28\sqrt{3} + 49 = 61 - 28\sqrt{3}$.

Ответ: $61 - 28\sqrt{3}$

е)

Снова используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{10}$ и $b = \sqrt{2}$.

$(2\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 10 - 4\sqrt{10 \cdot 2} + 2 = 40 - 4\sqrt{20} + 2$.

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Продолжим вычисление: $40 - 4(2\sqrt{5}) + 2 = 40 - 8\sqrt{5} + 2 = 42 - 8\sqrt{5}$.

Ответ: $42 - 8\sqrt{5}$