Номер 429, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 429, страница 103.

429. Сократите дробь:

a) $\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt{5}}$;

б) $\frac{m + \sqrt{6}}{6 - m^2}$;

в) $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$;

г) $\frac{b - 9}{\sqrt{b} + 3}$;

д) $\frac{a - b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$;

е) $\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$.

а)

Для сокращения дроби $\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt{5}}$ представим числитель в виде разности квадратов. Число 5 можно представить как $(\sqrt{5})^2$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$:

$b^2 - 5 = b^2 - (\sqrt{5})^2 = (b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})$

Теперь подставим это выражение в числитель дроби и сократим общий множитель $(b - \sqrt{5})$:

$\frac{(b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b - \sqrt{5}} = b + \sqrt{5}$

Ответ: $b + \sqrt{5}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{m + \sqrt{6}}{6 - m^2}$. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов. Число 6 можно представить как $(\sqrt{6})^2$.

$6 - m^2 = (\sqrt{6})^2 - m^2 = (\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)$

Перепишем дробь с разложенным знаменателем. Так как $m + \sqrt{6} = \sqrt{6} + m$, мы можем сократить этот общий множитель:

$\frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)} = \frac{1}{\sqrt{6} - m}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{6} - m}$

в)

Для сокращения дроби $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$ разложим знаменатель на множители. При $x \ge 0$ можно записать $x = (\sqrt{x})^2$. Используем формулу разности квадратов:

$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$

Подставим это в знаменатель. В числителе вынесем -1 за скобки, чтобы получить общий множитель: $2 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 2)$.

$\frac{-( \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{x} - 2)$:

$-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{b - 9}{\sqrt{b} + 3}$. Разложим числитель на множители как разность квадратов. При $b \ge 0$, имеем $b = (\sqrt{b})^2$.

$b - 9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)$

Перепишем дробь и сократим общий множитель $(\sqrt{b} + 3)$:

$\frac{(\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)}{\sqrt{b} + 3} = \sqrt{b} - 3$

Ответ: $\sqrt{b} - 3$

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{a - b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$, разложим числитель на множители как разность квадратов. При $a \ge 0$ и $b \ge 0$ имеем $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Подставим разложенный числитель в дробь. Так как $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{b} + \sqrt{a}$, сокращаем этот общий множитель:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

е)

Рассмотрим дробь $\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$. Разложим знаменатель на множители. При $x \ge 0$ и $y \ge 0$ имеем $4x = (2\sqrt{x})^2$ и $9y = (3\sqrt{y})^2$. Знаменатель является разностью квадратов:

$4x - 9y = (2\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2 = (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})$

Запишем дробь с разложенным знаменателем и сократим общий множитель $(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})$:

$\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})} = \frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$