Номер 426, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 426, страница 102.

426. Преобразуйте выражение:

a) $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1);$

б) $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a});$

в) $(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2;$

г) $(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2;$

д) $(5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13);$

е) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3});$

ж) $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32};$

з) $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30.$

а) Для преобразования выражения $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)$ используется формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$.
$(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$.
Ответ: $x - 1$.

б) Выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})$ также преобразуется с помощью формулы разности квадратов. Здесь $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{a}$.
$(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{a})^2 = x - a$.
Ответ: $x - a$.

в) Для преобразования выражения $(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{m})^2 + 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = m + 2\sqrt{2m} + 2$.
Ответ: $m + 2\sqrt{2m} + 2$.

г) Для выражения $(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{x}$.
$(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 3 - 2\sqrt{3x} + x$.
Ответ: $3 - 2\sqrt{3x} + x$.

д) Выражение $(5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13)$ является разностью квадратов. Здесь $a = 5\sqrt{7}$ и $b = 13$.
$(5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13) = (5\sqrt{7})^2 - 13^2 = 25 \cdot 7 - 169 = 175 - 169 = 6$.
Ответ: $6$.

е) Выражение $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})$ также является разностью квадратов. Здесь $a = 2\sqrt{2}$ и $b = 3\sqrt{3}$.
$(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) = (2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 2 - 9 \cdot 3 = 8 - 27 = -19$.
Ответ: $-19$.

ж) Преобразуем выражение $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}$ по частям.
Сначала раскроем скобки по формуле квадрата разности: $(6 - \sqrt{2})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}$.
Теперь упростим второе слагаемое: $3\sqrt{32} = 3\sqrt{16 \cdot 2} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение: $(38 - 12\sqrt{2}) + 12\sqrt{2} = 38$.
Ответ: $38$.

з) Преобразуем выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30$.
Сначала упростим выражение в скобках. Так как $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, то $\sqrt{2} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $(4\sqrt{2})^2 - 30 = 16 \cdot 2 - 30 = 32 - 30 = 2$.
Ответ: $2$.