Страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

428. Разложите на множители выражение:

а) $3 + \sqrt{3}$;

б) $10 - 2\sqrt{10}$;

в) $\sqrt{x} + x$;

г) $a - 5\sqrt{a}$;

д) $\sqrt{a} - \sqrt{2a}$;

е) $\sqrt{3m} + \sqrt{5m}$;

ж) $\sqrt{14} - \sqrt{7}$;

з) $\sqrt{33} + \sqrt{22}$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $3 + \sqrt{3}$, представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
Выражение примет вид: $(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки:
$3 + \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.

б) В выражении $10 - 2\sqrt{10}$ представим число $10$ как $(\sqrt{10})^2$.
Выражение примет вид: $(\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}$.
Общим множителем является $\sqrt{10}$. Вынесем его за скобки:
$10 - 2\sqrt{10} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} - 2\sqrt{10} = \sqrt{10}(\sqrt{10} - 2)$.
Ответ: $\sqrt{10}(\sqrt{10} - 2)$.

в) Для разложения на множители выражения $\sqrt{x} + x$ (при $x \ge 0$) представим $x$ в виде $(\sqrt{x})^2$.
Выражение примет вид: $\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:
$\sqrt{x} + x = \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = \sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$.
Ответ: $\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$.

г) В выражении $a - 5\sqrt{a}$ (при $a \ge 0$) представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$.
Выражение примет вид: $(\sqrt{a})^2 - 5\sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$a - 5\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - 5\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $\sqrt{a} - \sqrt{2a}$ (при $a \ge 0$), воспользуемся свойством $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
Представим $\sqrt{2a}$ как $\sqrt{2}\sqrt{a}$. Выражение примет вид: $\sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$\sqrt{a} - \sqrt{2a} = \sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{a} = \sqrt{a}(1 - \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 - \sqrt{2})$.

е) В выражении $\sqrt{3m} + \sqrt{5m}$ (при $m \ge 0$) используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
Выражение можно записать как $\sqrt{3}\sqrt{m} + \sqrt{5}\sqrt{m}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{m}$ за скобки:
$\sqrt{3m} + \sqrt{5m} = \sqrt{3}\sqrt{m} + \sqrt{5}\sqrt{m} = \sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.
Ответ: $\sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.

ж) Для разложения на множители выражения $\sqrt{14} - \sqrt{7}$ представим $\sqrt{14}$ как $\sqrt{2 \cdot 7}$.
Используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, получим $\sqrt{2}\sqrt{7}$.
Выражение примет вид: $\sqrt{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки: $\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$.

з) В выражении $\sqrt{33} + \sqrt{22}$ представим подкоренные выражения в виде произведения: $\sqrt{3 \cdot 11} + \sqrt{2 \cdot 11}$.
Используя свойство корня, получим $\sqrt{3}\sqrt{11} + \sqrt{2}\sqrt{11}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{11}$ за скобки:
$\sqrt{33} + \sqrt{22} = \sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

430. Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}}$;

б) $\frac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2}$;

в) $\frac{\sqrt{x} - 5}{25 - x}$;

г) $\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}$;

д) $\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}$;

е) $\frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}}$, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим число 2 как $(\sqrt{2})^2$.
$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}}$.
Сокращаем общий множитель $(x + \sqrt{2})$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x + \sqrt{2} \neq 0$.
$\frac{(x - \sqrt{2})\cancel{(x + \sqrt{2})}}{\cancel{x + \sqrt{2}}} = x - \sqrt{2}$.

Ответ: $x - \sqrt{2}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2}$, разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов. Представим число 5 как $(\sqrt{5})^2$.
$5 - a^2 = (\sqrt{5})^2 - a^2 = (\sqrt{5} - a)(\sqrt{5} + a)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{\sqrt{5} - a}{(\sqrt{5} - a)(\sqrt{5} + a)}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{5} - a)$, при условии, что $\sqrt{5} - a \neq 0$.
$\frac{\cancel{\sqrt{5} - a}}{\cancel{(\sqrt{5} - a)}(\sqrt{5} + a)} = \frac{1}{\sqrt{5} + a}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5} + a}$.

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{x} - 5}{25 - x}$, разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов. При этом учтем, что $x = (\sqrt{x})^2$ (область определения $x \ge 0$).
$25 - x = 5^2 - (\sqrt{x})^2 = (5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{\sqrt{x} - 5}{(5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})}$.
Заметим, что числитель и один из множителей в знаменателе отличаются только знаком: $\sqrt{x} - 5 = -(5 - \sqrt{x})$. Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-(5 - \sqrt{x})}{(5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})}$.
Теперь можно сократить общий множитель $(5 - \sqrt{x})$, при условии, что $x \neq 25$:
$\frac{-\cancel{(5 - \sqrt{x})}}{\cancel{(5 - \sqrt{x})}(5 + \sqrt{x})} = -\frac{1}{5 + \sqrt{x}}$.

Ответ: $-\frac{1}{5 + \sqrt{x}}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}$, можно разделить каждый член числителя на знаменатель или вынести общий множитель в числителе.
Способ 1: Почленное деление.
$\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$.
Способ 2: Вынесение общего множителя.
Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{2}$, представив $2$ как $(\sqrt{2})^2$:
$\sqrt{2} + 2 = \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2}(1 + \sqrt{2})$.
Подставим в дробь:
$\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2}}$.
Сокращаем $\sqrt{2}$:
$\frac{\cancel{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{2})}{\cancel{\sqrt{2}}} = 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $1 + \sqrt{2}$.

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}$, разделим каждый член числителя на знаменатель.
$\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} + \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} + 1$.
Упростим первое слагаемое $\frac{5}{\sqrt{10}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Тогда все выражение равно:
$\frac{\sqrt{10}}{2} + 1$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2} + 1$.

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}$, вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{3}$. Для этого представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
$2\sqrt{3} - 3 = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{5\sqrt{3}}$.
Сократим общий множитель $\sqrt{3}$:
$\frac{\cancel{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})}{5\cancel{\sqrt{3}}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{5}$.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{3}}{5}$.

432. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{m}{\sqrt{x}};$

б) $\frac{1}{\sqrt{2}};$

В) $\frac{3}{5\sqrt{c}};$

Г) $\frac{a}{2\sqrt{3}};$

Д) $\frac{3}{2\sqrt{3}};$

е) $\frac{5}{4\sqrt{15}}.$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, содержащей квадратный корень, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на выражение, содержащее этот корень. Это действие основано на свойстве арифметического квадратного корня: $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$. Умножение на дробь, у которой числитель и знаменатель равны, не изменяет значения исходной дроби, так как это эквивалентно умножению на единицу.

а)

Дана дробь $\frac{m}{\sqrt{x}}$.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$. При этом, по определению квадратного корня, должно выполняться условие $x > 0$.

$\frac{m}{\sqrt{x}} = \frac{m \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{m\sqrt{x}}{x}$

Ответ: $\frac{m\sqrt{x}}{x}$

б)

Дана дробь $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в)

Дана дробь $\frac{3}{5\sqrt{c}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{c}$. Подразумевается, что $c > 0$.

$\frac{3}{5\sqrt{c}} = \frac{3 \cdot \sqrt{c}}{5\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{3\sqrt{c}}{5c}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{c}}{5c}$

г)

Дана дробь $\frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.

$\frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{6}$

д)

Дана дробь $\frac{3}{2\sqrt{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.

$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

е)

Дана дробь $\frac{5}{4\sqrt{15}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$.

$\frac{5}{4\sqrt{15}} = \frac{5 \cdot \sqrt{15}}{4\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{4 \cdot 15} = \frac{5\sqrt{15}}{60}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{5\sqrt{15}}{60} = \frac{\sqrt{15}}{12}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{12}$

429. Сократите дробь:

a) $\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt{5}}$;

б) $\frac{m + \sqrt{6}}{6 - m^2}$;

в) $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$;

г) $\frac{b - 9}{\sqrt{b} + 3}$;

д) $\frac{a - b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$;

е) $\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$.

а)

Для сокращения дроби $\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt{5}}$ представим числитель в виде разности квадратов. Число 5 можно представить как $(\sqrt{5})^2$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$:

$b^2 - 5 = b^2 - (\sqrt{5})^2 = (b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})$

Теперь подставим это выражение в числитель дроби и сократим общий множитель $(b - \sqrt{5})$:

$\frac{(b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b - \sqrt{5}} = b + \sqrt{5}$

Ответ: $b + \sqrt{5}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{m + \sqrt{6}}{6 - m^2}$. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов. Число 6 можно представить как $(\sqrt{6})^2$.

$6 - m^2 = (\sqrt{6})^2 - m^2 = (\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)$

Перепишем дробь с разложенным знаменателем. Так как $m + \sqrt{6} = \sqrt{6} + m$, мы можем сократить этот общий множитель:

$\frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)} = \frac{1}{\sqrt{6} - m}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{6} - m}$

в)

Для сокращения дроби $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$ разложим знаменатель на множители. При $x \ge 0$ можно записать $x = (\sqrt{x})^2$. Используем формулу разности квадратов:

$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$

Подставим это в знаменатель. В числителе вынесем -1 за скобки, чтобы получить общий множитель: $2 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 2)$.

$\frac{-( \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{x} - 2)$:

$-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{b - 9}{\sqrt{b} + 3}$. Разложим числитель на множители как разность квадратов. При $b \ge 0$, имеем $b = (\sqrt{b})^2$.

$b - 9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)$

Перепишем дробь и сократим общий множитель $(\sqrt{b} + 3)$:

$\frac{(\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)}{\sqrt{b} + 3} = \sqrt{b} - 3$

Ответ: $\sqrt{b} - 3$

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{a - b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$, разложим числитель на множители как разность квадратов. При $a \ge 0$ и $b \ge 0$ имеем $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Подставим разложенный числитель в дробь. Так как $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{b} + \sqrt{a}$, сокращаем этот общий множитель:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

е)

Рассмотрим дробь $\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$. Разложим знаменатель на множители. При $x \ge 0$ и $y \ge 0$ имеем $4x = (2\sqrt{x})^2$ и $9y = (3\sqrt{y})^2$. Знаменатель является разностью квадратов:

$4x - 9y = (2\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2 = (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})$

Запишем дробь с разложенным знаменателем и сократим общий множитель $(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})$:

$\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})} = \frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$

431. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{x}{\sqrt{5}}; $

б) $ \frac{3}{\sqrt{b}}; $

в) $ \frac{2}{7\sqrt{y}}; $

г) $ \frac{a}{b\sqrt{b}}; $

д) $ \frac{4}{\sqrt{a+b}}; $

е) $ \frac{1}{\sqrt{a-b}}; $

ж) $ \frac{5}{2\sqrt{3}}; $

з) $ \frac{8}{3\sqrt{2}}; $

и) $ \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}. $

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x}{\sqrt{5}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{5}$. В результате получим:$\frac{x}{\sqrt{5}} = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{x\sqrt{5}}{5}$.Знаменатель стал рациональным числом.
Ответ: $\frac{x\sqrt{5}}{5}$

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt{b}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$ (при условии $b>0$):$\frac{3}{\sqrt{b}} = \frac{3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{3\sqrt{b}}{b}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{b}}{b}$

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{7\sqrt{y}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{y}$ (при условии $y>0$):$\frac{2}{7\sqrt{y}} = \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{7\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{7y}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{y}}{7y}$

г) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{b\sqrt{b}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$ (при условии $b>0$):$\frac{a}{b\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b \cdot b} = \frac{a\sqrt{b}}{b^2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

д) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{a+b}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a+b}$ (при условии $a+b>0$):$\frac{4}{\sqrt{a+b}} = \frac{4 \cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a+b}} = \frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}$

е) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{a-b}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a-b}$ (при условии $a-b>0$):$\frac{1}{\sqrt{a-b}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b} \cdot \sqrt{a-b}} = \frac{\sqrt{a-b}}{a-b}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a-b}}{a-b}$

ж) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{2\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$\frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{6}$

з) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{8}{3\sqrt{2}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$\frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6}$.Полученную дробь можно сократить на 2:$\frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

и) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5 \cdot 2}}{5 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

433. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{4}{\sqrt{3}+1}$;

б) $\frac{1}{1-\sqrt{2}}$;

в) $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$;

г) $\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$;

д) $\frac{33}{7-3\sqrt{3}}$;

е) $\frac{15}{2\sqrt{5}+5}$.

Для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $a+b$ является $a-b$, и наоборот. При умножении таких выражений используется формула разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Это позволяет избавиться от квадратных корней в знаменателе.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{3}+1}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3}-1$.

$\frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \cdot (\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}-2$.

Ответ: $2\sqrt{3}-2$.

б) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{1-\sqrt{2}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $1+\sqrt{2}$.

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2}) \cdot (1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -1-\sqrt{2}$.

Ответ: $-1-\sqrt{2}$.

в) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ на сопряженное выражение $\sqrt{x}+\sqrt{y}$. При этом предполагается, что $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $x \ne y$.

$\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$.

г) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ на сопряженное выражение $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. При этом предполагается, что $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$.

$\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$.

Ответ: $\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$.

д) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{33}{7-3\sqrt{3}}$ на сопряженное выражение $7+3\sqrt{3}$.

$\frac{33}{7-3\sqrt{3}} = \frac{33 \cdot (7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3}) \cdot (7+3\sqrt{3})} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{7^2 - (3\sqrt{3})^2} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49 - 9 \cdot 3} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49 - 27} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{22}$.

Сократим дробь на 11:

$\frac{33(7+3\sqrt{3})}{22} = \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2} = \frac{21+9\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3(7+3\sqrt{3})}{2}$.

е) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{15}{2\sqrt{5}+5}$ на сопряженное выражение $2\sqrt{5}-5$.

$\frac{15}{2\sqrt{5}+5} = \frac{15 \cdot (2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5}+5) \cdot (2\sqrt{5}-5)} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5})^2 - 5^2} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4 \cdot 5 - 25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{20 - 25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5}$.

Сократим дробь на -5:

$\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5} = -3(2\sqrt{5}-5) = -6\sqrt{5} + 15 = 15 - 6\sqrt{5}$.

Ответ: $15 - 6\sqrt{5}$.