Страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

455. Известно, что числа a и b целые. Является ли целым число:

а) $a + b;$

б) $a - b;$

в) $ab;$

г) $\frac{a}{b} (b \neq 0)?$

По условию задачи, числа $a$ и $b$ являются целыми числами. Целые числа — это множество чисел $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$, обозначаемое как $\mathbb{Z}$. Рассмотрим каждое выражение.

а) $a + b$;
Сумма двух целых чисел всегда является целым числом. Это одно из основных свойств множества целых чисел, которое называется замкнутостью относительно операции сложения.
Например, если $a = 5$ и $b = -3$, то их сумма $a + b = 5 + (-3) = 2$. Число 2 является целым.
Если $a = -10$ и $b = -7$, то их сумма $a + b = -10 + (-7) = -17$. Число -17 является целым.
Таким образом, выражение $a + b$ всегда будет целым числом.
Ответ: да, является.

б) $a - b$;
Разность двух целых чисел также всегда является целым числом. Множество целых чисел замкнуто и относительно операции вычитания. Операцию вычитания можно представить как сложение с противоположным числом: $a - b = a + (-b)$. Так как $b$ — целое число, то и $-b$ — целое. А сумма двух целых чисел, как установлено в пункте а), всегда является целым числом.
Например, если $a = 4$ и $b = 9$, то их разность $a - b = 4 - 9 = -5$. Число -5 является целым.
Если $a = -2$ и $b = -6$, то их разность $a - b = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$. Число 4 является целым.
Таким образом, выражение $a - b$ всегда будет целым числом.
Ответ: да, является.

в) $ab$;
Произведение двух целых чисел всегда является целым числом. Множество целых чисел замкнуто относительно операции умножения.
Например, если $a = 3$ и $b = -4$, то их произведение $ab = 3 \cdot (-4) = -12$. Число -12 является целым.
Если $a = -5$ и $b = -6$, то их произведение $ab = (-5) \cdot (-6) = 30$. Число 30 является целым.
Таким образом, выражение $ab$ всегда будет целым числом.
Ответ: да, является.

г) $\frac{a}{b} \ (b \neq 0)?$
Частное двух целых чисел не всегда является целым числом. Множество целых чисел не является замкнутым относительно операции деления. Результат деления будет целым числом только в том случае, если числитель $a$ делится на знаменатель $b$ без остатка (или, другими словами, $a$ кратно $b$). В общем случае результат деления двух целых чисел является рациональным числом.
Приведем контрпример, когда частное не является целым числом. Пусть $a = 2$ и $b = 3$. Оба числа целые. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$. Это дробное число, а не целое.
Еще один пример: $a = 5$, $b = 2$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{5}{2} = 2.5$. Это также не целое число.
Хотя в некоторых случаях результат может быть целым (например, если $a=10$, $b=5$, то $\frac{a}{b} = 2$), вопрос "является ли" подразумевает "является ли всегда". Так как это свойство выполняется не для всех целых $a$ и $b$, то ответ "нет".
Ответ: нет, не всегда является.

457. Докажите, что если числа $x$ и $y$ чётные, то чётным будет число:

а) $x - y$;

б) $xy$;

в) $3x + y$.

По определению, чётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число. Поскольку по условию числа $x$ и $y$ чётные, мы можем записать их как $x = 2m$ и $y = 2n$, где $m$ и $n$ — некоторые целые числа. Докажем утверждения для каждого случая.

а) x - y

Подставим наши представления для $x$ и $y$ в выражение:$x - y = 2m - 2n$.Вынесем общий множитель 2 за скобки:$2(m - n)$.Так как $m$ и $n$ являются целыми числами, их разность $(m - n)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $x - y$ представлено в виде произведения двойки на целое число, а значит, оно по определению является чётным.

Ответ: число $x - y$ является чётным.

б) xy

Подставим наши представления для $x$ и $y$ в выражение:$xy = (2m)(2n) = 4mn$.Представим результат в виде, где один из множителей равен 2:$4mn = 2(2mn)$.Так как $m$ и $n$ — целые числа, то их произведение $2mn$ также является целым числом. Следовательно, выражение $xy$ представлено в виде произведения двойки на целое число, а значит, оно является чётным.

Ответ: число $xy$ является чётным.

в) 3x + y

Подставим наши представления для $x$ и $y$ в выражение:$3x + y = 3(2m) + 2n = 6m + 2n$.Вынесем общий множитель 2 за скобки:$2(3m + n)$.Так как $m$ и $n$ — целые числа, то и результат выражения в скобках $(3m + n)$ также будет целым числом (произведение целого на целое — целое, сумма целых чисел — целое). Следовательно, выражение $3x + y$ представлено в виде произведения двойки на целое число, а значит, оно является чётным.

Ответ: число $3x + y$ является чётным.

459. Назовите:

а) пять положительных чисел, меньших 0,002;

б) пять отрицательных чисел, больших $-\frac{1}{11}$;

в) пять чисел, больших $\frac{1}{3}$ и меньших $\frac{1}{2}$.

а) пять положительных чисел, меньших 0,002
Нам нужно найти пять чисел $x$, которые удовлетворяют условию $0 < x < 0,002$. Для этого можно выбрать любые десятичные дроби, которые находятся в этом интервале. Например, мы можем взять числа с большим количеством знаков после запятой или просто выбрать числа, которые очевидно меньше 0,002, но больше нуля.
Примеры таких чисел:

• 0,001 (так как $1 < 2$, то $0,001 < 0,002$)
• 0,0015 (находится между 0,001 и 0,002)
• 0,0001 (имеет больше нулей после запятой, поэтому меньше)
• 0,0019
• 0,00199

Ответ: 0,001; 0,0015; 0,0001; 0,0019; 0,00199.

б) пять отрицательных чисел, больших $-\frac{1}{11}$
Нам нужно найти пять чисел $x$, которые удовлетворяют условию $-\frac{1}{11} < x < 0$. Для отрицательных чисел, чем меньше их модуль (абсолютная величина), тем больше само число. То есть, мы ищем отрицательные числа, модуль которых меньше, чем $|\!-\frac{1}{11}| = \frac{1}{11}$.
Чтобы найти такие дроби, мы можем взять дроби вида $-\frac{1}{n}$, где знаменатель $n$ будет больше 11. Если $n > 11$, то $\frac{1}{n} < \frac{1}{11}$, и, следовательно, $-\frac{1}{n} > -\frac{1}{11}$.
Возьмем значения для $n$, равные 12, 13, 14, 15, 16:

• $-\frac{1}{12}$
• $-\frac{1}{13}$
• $-\frac{1}{14}$
• $-\frac{1}{15}$
• $-\frac{1}{16}$

Все эти числа отрицательные и больше, чем $-\frac{1}{11}$.
Ответ: $-\frac{1}{12}$; $-\frac{1}{13}$; $-\frac{1}{14}$; $-\frac{1}{15}$; $-\frac{1}{16}$.

в) пять чисел, больших $\frac{1}{3}$ и меньших $\frac{1}{2}$
Нам нужно найти пять чисел $x$, удовлетворяющих условию $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$. Чтобы найти числа между двумя дробями, удобно привести их к общему знаменателю.
Приведем дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель равен 6.
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$
$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$
Между $\frac{2}{6}$ и $\frac{3}{6}$ сложно вставить дробь с таким же знаменателем. Увеличим знаменатель, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число, например, на 6.
$\frac{1}{3} = \frac{2 \times 6}{6 \times 6} = \frac{12}{36}$
$\frac{1}{2} = \frac{3 \times 6}{6 \times 6} = \frac{18}{36}$
Теперь нам нужно найти числа между $\frac{12}{36}$ и $\frac{18}{36}$. Мы можем выбрать дроби с тем же знаменателем 36 и числителями от 13 до 17.
Примеры таких чисел:

• $\frac{13}{36}$
• $\frac{14}{36} = \frac{7}{18}$
• $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$
• $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$
• $\frac{17}{36}$

Ответ: $\frac{13}{36}$; $\frac{14}{36}$; $\frac{15}{36}$; $\frac{16}{36}$; $\frac{17}{36}$.

461. Назовите два рациональных и два иррациональных числа, заключённых между числами 10 и 10,1.

Задача состоит в том, чтобы найти два рациональных и два иррациональных числа, которые находятся в интервале $(10; 10,1)$. Это означает, что для любого искомого числа $x$ должно выполняться строгое неравенство $10 < x < 10,1$.

Два рациональных числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Десятичное представление таких чисел является либо конечным, либо бесконечным периодическим. Для нахождения таких чисел в заданном интервале достаточно выбрать любую конечную десятичную дробь, которая больше 10 и меньше 10,1.

Например, рассмотрим следующие числа:

1. Число $10,02$. Это число удовлетворяет неравенству $10 < 10,02 < 10,1$. Оно является рациональным, так как его можно записать в виде дроби: $10,02 = \frac{1002}{100} = \frac{501}{50}$.

2. Число $10,05$. Это число также находится в указанном интервале: $10 < 10,05 < 10,1$. Оно рационально, так как $10,05 = \frac{1005}{100} = \frac{201}{20}$.

Ответ: $10,02$ и $10,05$.

Два иррациональных числа

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

Чтобы найти иррациональные числа в интервале $(10; 10,1)$, можно воспользоваться методом возведения границ в квадрат. Если число $x$ лежит в интервале $10 < x < 10,1$, то его квадрат $x^2$ будет лежать в интервале $10^2 < x^2 < (10,1)^2$, то есть $100 < x^2 < 102,01$.

Теперь выберем в интервале $(100; 102,01)$ любое число, которое не является точным квадратом целого числа. Квадратный корень из такого числа будет иррациональным и будет находиться в искомом интервале $(10; 10,1)$.

1. Выберем число $101$. Так как $100 < 101 < 102,01$, то и $ \sqrt{100} < \sqrt{101} < \sqrt{102,01}$, что равносильно $10 < \sqrt{101} < 10,1$. Поскольку $101$ не является точным квадратом, число $\sqrt{101}$ иррационально.

2. Выберем число $102$. Так как $100 < 102 < 102,01$, то $10 < \sqrt{102} < 10,1$. Поскольку $102$ не является точным квадратом, число $\sqrt{102}$ также иррационально.

Ответ: $\sqrt{101}$ и $\sqrt{102}$.

454. Известно, что числа $a$ и $b$ натуральные. Является ли натуральным число:

а) $a + b$;

б) $a - b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$?

а) a + b;

По определению, натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете: $1, 2, 3, ...$ и так далее. Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Сумма двух натуральных чисел всегда будет натуральным числом. Это связано с тем, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения. При сложении двух положительных целых чисел мы всегда получаем положительное целое число.
Например, если $a = 12$ и $b = 7$, то $a + b = 12 + 7 = 19$. Число $19$ является натуральным.
Ответ: да, является.

б) a – b;

Разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Рассмотрим возможные случаи:

• Если $a > b$, то разность $a - b$ будет натуральным числом. Например, если $a = 10$ и $b = 3$, то $a - b = 7$, что является натуральным числом.
• Если $a = b$, то разность $a - b$ равна нулю ($0$), а ноль не является натуральным числом. Например, если $a = 5$ и $b = 5$, то $a - b = 0$.
• Если $a < b$, то разность $a - b$ будет отрицательным числом, которое также не является натуральным. Например, если $a = 4$ и $b = 9$, то $a - b = -5$.

Так как существуют случаи, когда результат не является натуральным числом, то в общем случае разность $a-b$ не является натуральным числом.
Ответ: нет, не всегда.

в) ab;

Произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Множество натуральных чисел замкнуто относительно операции умножения. Умножение двух положительных целых чисел всегда дает в результате положительное целое число.
Например, если $a = 5$ и $b = 6$, то $ab = 5 \times 6 = 30$. Число $30$ является натуральным.
Ответ: да, является.

г) $\frac{a}{b}$?

Частное от деления одного натурального числа на другое не всегда является натуральным числом. Результат деления будет натуральным числом только в том случае, если число $a$ делится на число $b$ без остатка (т.е. $a$ кратно $b$).

• Если $a$ делится на $b$ нацело, то частное будет натуральным числом. Например, если $a = 20$ и $b = 4$, то $\frac{a}{b} = \frac{20}{4} = 5$, что является натуральным числом.
• Если $a$ не делится на $b$ нацело, то частное будет дробным (рациональным) числом. Например, если $a = 2$ и $b = 3$, то $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$. Это число не является натуральным.

Таким образом, частное двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом.
Ответ: нет, не всегда.

456. Известно, что числа $a$ и $b$ рациональные. Является ли рациональным число:

а) $a+b$;

б) $a-b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$ ($b \ne 0$)?

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — целое, не равное нулю. Пусть даны два рациональных числа $a$ и $b$. Это означает, что их можно представить в виде дробей: $a = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — целое, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$). $b = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — целое, не равное нулю ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$). Рассмотрим каждый случай.

а) a + b;

Найдем сумму чисел $a$ и $b$: $a + b = \frac{m}{n} + \frac{p}{q}$ Приведем дроби к общему знаменателю $nq$: $a + b = \frac{mq}{nq} + \frac{pn}{nq} = \frac{mq + pn}{nq}$ Числитель полученной дроби, $mq + pn$, является целым числом, поскольку представляет собой сумму произведений целых чисел. Знаменатель $nq$ является целым числом и не равен нулю, так как $n \neq 0$ и $q \neq 0$. Следовательно, сумма $a+b$ представляется в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — целое, не равное нулю. Значит, число $a+b$ является рациональным.

Ответ: да, является.

б) a - b;

Найдем разность чисел $a$ и $b$: $a - b = \frac{m}{n} - \frac{p}{q}$ Приведем дроби к общему знаменателю $nq$: $a - b = \frac{mq}{nq} - \frac{pn}{nq} = \frac{mq - pn}{nq}$ Числитель $mq - pn$ является целым числом (как разность произведений целых чисел). Знаменатель $nq$ является целым числом, не равным нулю. Следовательно, разность $a-b$ является рациональным числом.

Ответ: да, является.

в) ab;

Найдем произведение чисел $a$ и $b$: $ab = \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{mp}{nq}$ Числитель $mp$ является целым числом (как произведение целых чисел). Знаменатель $nq$ является целым числом, не равным нулю. Следовательно, произведение $ab$ является рациональным числом.

Ответ: да, является.

г) $\frac{a}{b}$ (b $\neq$ 0)?

Найдем частное чисел $a$ и $b$, при условии что $b \neq 0$. Условие $b \neq 0$ означает, что дробь $\frac{p}{q} \neq 0$, а это возможно только если ее числитель $p \neq 0$. $\frac{a}{b} = \frac{\frac{m}{n}}{\frac{p}{q}} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$ Числитель $mq$ является целым числом. Знаменатель $np$ является целым числом. Так как $n \neq 0$ и $p \neq 0$, их произведение $np$ также не равно нулю. Следовательно, частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом.

Ответ: да, является.

458. Известно, что числа $x$ и $y$ нечётные. Будет ли чётным или нечётным числом:

а) сумма $x + y$;

б) разность $x - y$;

в) произведение $xy$?

По условию задачи, числа $x$ и $y$ являются нечётными. Любое нечётное число можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — некоторое целое число. Пусть $x = 2k + 1$ и $y = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа.

а) сумма x + y;

Найдём сумму двух нечётных чисел:

$x + y = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)$.

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $k + m + 1$ также является целым числом. Обозначим $k + m + 1 = n$, где $n$ — целое число. Тогда сумма равна $2n$. Число вида $2n$ по определению является чётным, так как оно делится на 2 без остатка.

Ответ: сумма $x + y$ будет чётным числом.

б) разность x − y;

Найдём разность двух нечётных чисел:

$x - y = (2k + 1) - (2m + 1) = 2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m = 2(k - m)$.

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $k - m$ также является целым числом. Обозначим $k - m = p$, где $p$ — целое число. Тогда разность равна $2p$. Число вида $2p$ по определению является чётным.

Ответ: разность $x - y$ будет чётным числом.

в) произведение xy?

Найдём произведение двух нечётных чисел:

$xy = (2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1$.

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $2km + k + m$ также является целым числом. Обозначим $2km + k + m = q$, где $q$ — целое число. Тогда произведение равно $2q + 1$. Число вида $2q + 1$ по определению является нечётным.

Ответ: произведение $xy$ будет нечётным числом.

460. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

а) $\frac{23}{64}$;

б) $-\frac{7}{25}$;

в) $\frac{11}{13}$;

г) $\frac{1}{27}$;

д) $\frac{2}{35}$;

е) $-\frac{7}{22}$;

ж) $\frac{23}{30}$;

з) $\frac{12}{55}$.

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{23}{64}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Так как знаменатель дроби $64 = 2^6$ является степенью двойки, в результате деления получится конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической, дописав в периоде ноль.

Выполнив деление 23 на 64, получаем:

$\frac{23}{64} = 0,359375 = 0,359375000... = 0,359375(0)$.

Ответ: $0,359375(0)$.

б) Для дроби $-\frac{7}{25}$ знаменатель $25 = 5^2$ является степенью пятерки, поэтому дробь также будет конечной. Представим ее в виде бесконечной периодической дроби с периодом (0).

Разделим 7 на 25:

$\frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0,28$.

Следовательно, $-\frac{7}{25} = -0,28 = -0,28(0)$.

Ответ: $-0,28(0)$.

в) Чтобы представить дробь $\frac{11}{13}$ в виде десятичной, разделим столбиком числитель 11 на знаменатель 13. Так как знаменатель 13 — простое число, отличное от 2 и 5, дробь будет чисто периодической.

Выполняем деление:
$110 \div 13 = 8$ (остаток 6)
$60 \div 13 = 4$ (остаток 8)
$80 \div 13 = 6$ (остаток 2)
$20 \div 13 = 1$ (остаток 7)
$70 \div 13 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 13 = 3$ (остаток 11)
Остаток 11 равен исходному числителю, поэтому последовательность цифр 846153 начнет повторяться. Это и есть период.

$\frac{11}{13} = 0,(846153)$.

Ответ: $0,(846153)$.

г) Разделим 1 на 27 столбиком. Знаменатель $27 = 3^3$, поэтому дробь будет чисто периодической.

Выполняем деление:
$10 \div 27 = 0$ (остаток 10)
$100 \div 27 = 3$ (остаток 19)
$190 \div 27 = 7$ (остаток 1)
Остаток 1 повторился, значит, период дроби — 037.

$\frac{1}{27} = 0,(037)$.

Ответ: $0,(037)$.

д) Разделим 2 на 35. Знаменатель $35 = 5 \times 7$ содержит множители 5 и 7, поэтому дробь будет смешанной периодической.

Выполняем деление:
$20 \div 35 = 0$ (остаток 20)
$200 \div 35 = 5$ (остаток 25)
$250 \div 35 = 7$ (остаток 5)
$50 \div 35 = 1$ (остаток 15)
$150 \div 35 = 4$ (остаток 10)
$100 \div 35 = 2$ (остаток 30)
$300 \div 35 = 8$ (остаток 20)
Остаток 20 повторился. Это означает, что последовательность цифр, полученных после него (начиная с 5), будет повторяться. Период дроби — 571428. Первая цифра после запятой (0) не входит в период.

$\frac{2}{35} = 0,0(571428)$.

Ответ: $0,0(571428)$.

е) Для дроби $-\frac{7}{22}$ знаменатель $22 = 2 \times 11$, поэтому дробь будет смешанной периодической. Найдем десятичное представление для $\frac{7}{22}$.

Выполняем деление 7 на 22:
$70 \div 22 = 3$ (остаток 4)
$40 \div 22 = 1$ (остаток 18)
$180 \div 22 = 8$ (остаток 4)
Остаток 4 повторился. Период дроби — 18. Цифра 3 не входит в период.

Таким образом, $\frac{7}{22} = 0,3(18)$, а значит $-\frac{7}{22} = -0,3(18)$.

Ответ: $-0,3(18)$.

ж) Разделим 23 на 30. Знаменатель $30 = 2 \times 3 \times 5$, дробь будет смешанной периодической.

Выполняем деление:
$230 \div 30 = 7$ (остаток 20)
$200 \div 30 = 6$ (остаток 20)
Остаток 20 повторился. Период дроби — 6. Цифра 7 не входит в период.

$\frac{23}{30} = 0,7(6)$.

Ответ: $0,7(6)$.

з) Разделим 12 на 55. Знаменатель $55 = 5 \times 11$, дробь будет смешанной периодической.

Выполняем деление:
$120 \div 55 = 2$ (остаток 10)
$100 \div 55 = 1$ (остаток 45)
$450 \div 55 = 8$ (остаток 10)
Остаток 10 повторился. Период дроби — 18. Цифра 2 не входит в период.

$\frac{12}{55} = 0,2(18)$.

Ответ: $0,2(18)$.

462. Известно, что число $a$ рациональное, а число $b$ иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число:

а) $a + b$;

б) $a - b$?

Для решения данной задачи мы будем использовать метод доказательства от противного, опираясь на свойства рациональных чисел.
Ключевое свойство, которое нам понадобится: множество рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания. Это означает, что если взять два любых рациональных числа, их сумма и их разность также будут рациональными числами.

а) Рассмотрим число $a + b$.
По условию, $a$ — рациональное число, а $b$ — иррациональное.
Предположим, что их сумма $a + b$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму буквой $c$, то есть $c = a + b$.
Согласно нашему предположению, $c$ — рациональное число. Из условия мы знаем, что $a$ — также рациональное число. Выразим $b$ из нашего равенства: $b = c - a$.
В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел ($c$ и $a$). Как мы знаем, результат такой операции всегда является рациональным числом. Следовательно, $b$ должно быть рациональным числом.
Это утверждение вступает в противоречие с исходным условием задачи, где сказано, что $b$ — иррациональное число.
Противоречие возникло из-за нашего неверного предположения. Значит, сумма $a + b$ не может быть рациональным числом, она является иррациональной.
Ответ: иррациональным.

б) Рассмотрим число $a - b$.
По условию, $a$ — рациональное число, а $b$ — иррациональное.
Действуем аналогично, методом от противного. Предположим, что разность $a - b$ является рациональным числом. Обозначим эту разность буквой $d$, то есть $d = a - b$.
Согласно нашему предположению, $d$ — рациональное число. Из условия мы знаем, что $a$ — также рациональное число. Выразим $b$ из нашего равенства: $b = a - d$.
В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел ($a$ и $d$). Результат этой операции должен быть рациональным числом. Следовательно, $b$ должно быть рациональным числом.
Мы снова получили противоречие с условием задачи, так как $b$ является иррациональным числом.
Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, разность $a - b$ не может быть рациональным числом, она является иррациональной.
Ответ: иррациональным.