Номер 457, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 457, страница 109.

457. Докажите, что если числа $x$ и $y$ чётные, то чётным будет число:

а) $x - y$;

б) $xy$;

в) $3x + y$.

По определению, чётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число. Поскольку по условию числа $x$ и $y$ чётные, мы можем записать их как $x = 2m$ и $y = 2n$, где $m$ и $n$ — некоторые целые числа. Докажем утверждения для каждого случая.

а) x - y

Подставим наши представления для $x$ и $y$ в выражение:$x - y = 2m - 2n$.Вынесем общий множитель 2 за скобки:$2(m - n)$.Так как $m$ и $n$ являются целыми числами, их разность $(m - n)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $x - y$ представлено в виде произведения двойки на целое число, а значит, оно по определению является чётным.

Ответ: число $x - y$ является чётным.

б) xy

Подставим наши представления для $x$ и $y$ в выражение:$xy = (2m)(2n) = 4mn$.Представим результат в виде, где один из множителей равен 2:$4mn = 2(2mn)$.Так как $m$ и $n$ — целые числа, то их произведение $2mn$ также является целым числом. Следовательно, выражение $xy$ представлено в виде произведения двойки на целое число, а значит, оно является чётным.

Ответ: число $xy$ является чётным.

в) 3x + y

Подставим наши представления для $x$ и $y$ в выражение:$3x + y = 3(2m) + 2n = 6m + 2n$.Вынесем общий множитель 2 за скобки:$2(3m + n)$.Так как $m$ и $n$ — целые числа, то и результат выражения в скобках $(3m + n)$ также будет целым числом (произведение целого на целое — целое, сумма целых чисел — целое). Следовательно, выражение $3x + y$ представлено в виде произведения двойки на целое число, а значит, оно является чётным.

Ответ: число $3x + y$ является чётным.