Номер 458, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 458, страница 109.

458. Известно, что числа $x$ и $y$ нечётные. Будет ли чётным или нечётным числом:

а) сумма $x + y$;

б) разность $x - y$;

в) произведение $xy$?

По условию задачи, числа $x$ и $y$ являются нечётными. Любое нечётное число можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — некоторое целое число. Пусть $x = 2k + 1$ и $y = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа.

а) сумма x + y;

Найдём сумму двух нечётных чисел:

$x + y = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)$.

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $k + m + 1$ также является целым числом. Обозначим $k + m + 1 = n$, где $n$ — целое число. Тогда сумма равна $2n$. Число вида $2n$ по определению является чётным, так как оно делится на 2 без остатка.

Ответ: сумма $x + y$ будет чётным числом.

б) разность x − y;

Найдём разность двух нечётных чисел:

$x - y = (2k + 1) - (2m + 1) = 2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m = 2(k - m)$.

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $k - m$ также является целым числом. Обозначим $k - m = p$, где $p$ — целое число. Тогда разность равна $2p$. Число вида $2p$ по определению является чётным.

Ответ: разность $x - y$ будет чётным числом.

в) произведение xy?

Найдём произведение двух нечётных чисел:

$xy = (2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1$.

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $2km + k + m$ также является целым числом. Обозначим $2km + k + m = q$, где $q$ — целое число. Тогда произведение равно $2q + 1$. Число вида $2q + 1$ по определению является нечётным.

Ответ: произведение $xy$ будет нечётным числом.