Номер 455, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 455, страница 109.

455. Известно, что числа a и b целые. Является ли целым число:

а) $a + b;$

б) $a - b;$

в) $ab;$

г) $\frac{a}{b} (b \neq 0)?$

По условию задачи, числа $a$ и $b$ являются целыми числами. Целые числа — это множество чисел $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$, обозначаемое как $\mathbb{Z}$. Рассмотрим каждое выражение.

а) $a + b$;
Сумма двух целых чисел всегда является целым числом. Это одно из основных свойств множества целых чисел, которое называется замкнутостью относительно операции сложения.
Например, если $a = 5$ и $b = -3$, то их сумма $a + b = 5 + (-3) = 2$. Число 2 является целым.
Если $a = -10$ и $b = -7$, то их сумма $a + b = -10 + (-7) = -17$. Число -17 является целым.
Таким образом, выражение $a + b$ всегда будет целым числом.
Ответ: да, является.

б) $a - b$;
Разность двух целых чисел также всегда является целым числом. Множество целых чисел замкнуто и относительно операции вычитания. Операцию вычитания можно представить как сложение с противоположным числом: $a - b = a + (-b)$. Так как $b$ — целое число, то и $-b$ — целое. А сумма двух целых чисел, как установлено в пункте а), всегда является целым числом.
Например, если $a = 4$ и $b = 9$, то их разность $a - b = 4 - 9 = -5$. Число -5 является целым.
Если $a = -2$ и $b = -6$, то их разность $a - b = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$. Число 4 является целым.
Таким образом, выражение $a - b$ всегда будет целым числом.
Ответ: да, является.

в) $ab$;
Произведение двух целых чисел всегда является целым числом. Множество целых чисел замкнуто относительно операции умножения.
Например, если $a = 3$ и $b = -4$, то их произведение $ab = 3 \cdot (-4) = -12$. Число -12 является целым.
Если $a = -5$ и $b = -6$, то их произведение $ab = (-5) \cdot (-6) = 30$. Число 30 является целым.
Таким образом, выражение $ab$ всегда будет целым числом.
Ответ: да, является.

г) $\frac{a}{b} \ (b \neq 0)?$
Частное двух целых чисел не всегда является целым числом. Множество целых чисел не является замкнутым относительно операции деления. Результат деления будет целым числом только в том случае, если числитель $a$ делится на знаменатель $b$ без остатка (или, другими словами, $a$ кратно $b$). В общем случае результат деления двух целых чисел является рациональным числом.
Приведем контрпример, когда частное не является целым числом. Пусть $a = 2$ и $b = 3$. Оба числа целые. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$. Это дробное число, а не целое.
Еще один пример: $a = 5$, $b = 2$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{5}{2} = 2.5$. Это также не целое число.
Хотя в некоторых случаях результат может быть целым (например, если $a=10$, $b=5$, то $\frac{a}{b} = 2$), вопрос "является ли" подразумевает "является ли всегда". Так как это свойство выполняется не для всех целых $a$ и $b$, то ответ "нет".
Ответ: нет, не всегда является.