Номер 448, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 448, страница 108.

448. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:

а) $\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}}$?

а)

Чтобы определить, является ли значение выражения $\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}$ рациональным или иррациональным числом, упростим его. Для этого представим подкоренные выражения в виде полных квадратов, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $13+4\sqrt{3}$. Представим $4\sqrt{3}$ как $2 \cdot 2\sqrt{3}$. Нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=13$ и $ab=2\sqrt{3}$.

Попробуем $a=2\sqrt{3}$ и $b=1$. Тогда $a^2+b^2 = (2\sqrt{3})^2+1^2 = 12+1=13$. Это подходит.

Следовательно, $13+4\sqrt{3} = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (2\sqrt{3}+1)^2$.

Аналогично для второго подкоренного выражения: $13-4\sqrt{3} = (2\sqrt{3}-1)^2$.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2} - \sqrt{(2\sqrt{3}-1)^2}$

Поскольку $2\sqrt{3} = \sqrt{12} > 1$, оба выражения $2\sqrt{3}+1$ и $2\sqrt{3}-1$ являются положительными, поэтому:

$\sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{3}+1$

$\sqrt{(2\sqrt{3}-1)^2} = 2\sqrt{3}-1$

Тогда выражение равно:

$(2\sqrt{3}+1) - (2\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}+1 = 2$

Число 2 является целым, а следовательно, и рациональным числом.

Ответ: Значение выражения равно 2, что является рациональным числом.

б)

Упростим выражение $\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}}$, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Рассмотрим подкоренное выражение $19-2\sqrt{34}$. Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=19$ и $2ab=2\sqrt{34}$, то есть $ab=\sqrt{34}$.

Так как $34 = 17 \cdot 2$, можно предположить, что $a=\sqrt{17}$ и $b=\sqrt{2}$. Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (\sqrt{17})^2+(\sqrt{2})^2 = 17+2=19$. Это верно.

Следовательно, мы можем записать:

$19-2\sqrt{34} = (\sqrt{17})^2 - 2\sqrt{17}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{17}-\sqrt{2})^2$

$19+2\sqrt{34} = (\sqrt{17})^2 + 2\sqrt{17}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{17}+\sqrt{2})^2$

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}} = \sqrt{(\sqrt{17}-\sqrt{2})^2} + \sqrt{(\sqrt{17}+\sqrt{2})^2}$

Так как $\sqrt{17} > \sqrt{2}$, оба выражения $\sqrt{17}-\sqrt{2}$ и $\sqrt{17}+\sqrt{2}$ положительны. Таким образом, извлекая корни, получаем:

$(\sqrt{17}-\sqrt{2}) + (\sqrt{17}+\sqrt{2}) = \sqrt{17}-\sqrt{2}+\sqrt{17}+\sqrt{2} = 2\sqrt{17}$

Число $\sqrt{17}$ является иррациональным, так как 17 — простое число, и корень из него не извлекается нацело. Произведение ненулевого рационального числа (2) и иррационального числа ($\sqrt{17}$) является иррациональным числом.

Ответ: Значение выражения равно $2\sqrt{17}$, что является иррациональным числом.