Номер 446, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 446, страница 108.

446. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:

а) $\sqrt{55+\sqrt{216}}$;

б) $\sqrt{86-\sqrt{5460}}$;

в) $\sqrt{17+\sqrt{288}}$;

г) $\sqrt{32-\sqrt{1008}}$.

а)

Воспользуемся формулой двойного радикала: $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.
Эта формула работает, если $ A^2 - B $ является полным квадратом.
Для выражения $ \sqrt{55 + \sqrt{216}} $ имеем $ A = 55 $ и $ B = 216 $.
Найдем значение $ \sqrt{A^2 - B} $:
$ \sqrt{55^2 - 216} = \sqrt{3025 - 216} = \sqrt{2809} = 53 $.
Поскольку из $ A^2 - B $ извлекается целый корень, формула применима. Подставим значения, используя знак "плюс":
$ \sqrt{\frac{55 + 53}{2}} + \sqrt{\frac{55 - 53}{2}} = \sqrt{\frac{108}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{54} + \sqrt{1} $.
Упростим полученное выражение:
$ \sqrt{54} + 1 = \sqrt{9 \cdot 6} + 1 = 3\sqrt{6} + 1 $.
Ответ: $ 3\sqrt{6} + 1 $

б)

Применим формулу двойного радикала $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.
Для выражения $ \sqrt{86 - \sqrt{5460}} $ имеем $ A = 86 $ и $ B = 5460 $.
Вычислим $ \sqrt{A^2 - B} $:
$ \sqrt{86^2 - 5460} = \sqrt{7396 - 5460} = \sqrt{1936} = 44 $.
Формула применима. Подставляем значения, используя знак "минус", так как в исходном выражении стоит минус:
$ \sqrt{\frac{86 + 44}{2}} - \sqrt{\frac{86 - 44}{2}} = \sqrt{\frac{130}{2}} - \sqrt{\frac{42}{2}} = \sqrt{65} - \sqrt{21} $.
Корни $ \sqrt{65} $ и $ \sqrt{21} $ дальше не упрощаются.
Ответ: $ \sqrt{65} - \sqrt{21} $

в)

Используем формулу двойного радикала $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.
Для выражения $ \sqrt{17 + \sqrt{288}} $ имеем $ A = 17 $ и $ B = 288 $.
Найдем $ \sqrt{A^2 - B} $:
$ \sqrt{17^2 - 288} = \sqrt{289 - 288} = \sqrt{1} = 1 $.
Формула применима. Подставляем значения:
$ \sqrt{\frac{17 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{17 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} + \sqrt{\frac{16}{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{8} $.
Упростим результат:
$ 3 + \sqrt{4 \cdot 2} = 3 + 2\sqrt{2} $.
Ответ: $ 3 + 2\sqrt{2} $

г)

Воспользуемся формулой двойного радикала $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.
Для выражения $ \sqrt{32 - \sqrt{1008}} $ имеем $ A = 32 $ и $ B = 1008 $.
Вычислим $ \sqrt{A^2 - B} $:
$ \sqrt{32^2 - 1008} = \sqrt{1024 - 1008} = \sqrt{16} = 4 $.
Формула применима. Подставляем значения со знаком "минус":
$ \sqrt{\frac{32 + 4}{2}} - \sqrt{\frac{32 - 4}{2}} = \sqrt{\frac{36}{2}} - \sqrt{\frac{28}{2}} = \sqrt{18} - \sqrt{14} $.
Упростим $ \sqrt{18} $:
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $.
Окончательный результат: $ 3\sqrt{2} - \sqrt{14} $.
Ответ: $ 3\sqrt{2} - \sqrt{14} $