Номер 453, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 453, страница 108.

453. Освободитесь от внешнего радикала в выражении:

a) $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}$, если $a \ge 1$;

б) $\sqrt{a+b+1+2\sqrt{a+b}} - \sqrt{a+b+1-2\sqrt{a+b}}$, если $a+b \ge 1$.

а) Чтобы освободиться от внешнего радикала в выражении $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}$, нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Заметим, что $a = (a-1) + 1$. Перепишем подкоренное выражение: $a+2\sqrt{a-1} = (a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1$. Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = \sqrt{a-1}$ и $y = 1$. Таким образом, $(a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1})^2 + 2\cdot\sqrt{a-1}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1}+1)^2$. Теперь вернемся к исходному выражению: $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1}+1)^2}$. Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(\sqrt{a-1}+1)^2} = |\sqrt{a-1}+1|$. По условию $a \ge 1$, следовательно $a-1 \ge 0$, и $\sqrt{a-1}$ является неотрицательным числом. Значит, сумма $\sqrt{a-1}+1$ всегда положительна. Поэтому модуль можно опустить: $|\sqrt{a-1}+1| = \sqrt{a-1}+1$.
Ответ: $\sqrt{a-1}+1$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{a+b+1+2\sqrt{a+b}} - \sqrt{a+b+1-2\sqrt{a+b}}$ при условии $a+b \ge 1$. Для удобства сделаем замену $x = a+b$. Тогда выражение примет вид: $\sqrt{x+1+2\sqrt{x}} - \sqrt{x+1-2\sqrt{x}}$, где $x \ge 1$. Преобразуем каждое подкоренное выражение в полный квадрат.
1. Для первого слагаемого: $x+1+2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 + 2\cdot\sqrt{x}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}+1)^2$. Тогда $\sqrt{x+1+2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x}+1)^2} = |\sqrt{x}+1|$. Поскольку $x \ge 1$, то $\sqrt{x} \ge 1$, и $\sqrt{x}+1 > 0$. Следовательно, $|\sqrt{x}+1| = \sqrt{x}+1$.
2. Для второго слагаемого: $x+1-2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 - 2\cdot\sqrt{x}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}-1)^2$. Тогда $\sqrt{x+1-2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x}-1)^2} = |\sqrt{x}-1|$. Поскольку $x \ge 1$, то $\sqrt{x} \ge 1$, и $\sqrt{x}-1 \ge 0$. Следовательно, $|\sqrt{x}-1| = \sqrt{x}-1$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное: $(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}+1 - \sqrt{x}+1 = 2$. Результат не зависит от $x$, а значит, и от $a$ и $b$.
Ответ: $2$.