Номер 449, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 449, страница 108.

449. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}}$;

б) $\frac{\sqrt{5+\sqrt{3}}}{\sqrt{5-\sqrt{3}}}$;

в) $\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} $, умножим числитель и знаменатель этой дроби на множитель $ \sqrt{4-\sqrt{11}} $. Это позволит применить формулу разности квадратов под корнем в знаменателе.

$ \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} = \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}} = \frac{(\sqrt{4-\sqrt{11}})^2}{\sqrt{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})}} $

Вычислим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: $ (\sqrt{4-\sqrt{11}})^2 = 4-\sqrt{11} $ (это возможно, так как $ 4 = \sqrt{16} $, и $ \sqrt{16} > \sqrt{11} $, следовательно $ 4-\sqrt{11} > 0 $).
Знаменатель: $ \sqrt{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{11})^2} = \sqrt{16-11} = \sqrt{5} $.

Таким образом, наша дробь принимает вид: $ \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{5}} $.

В знаменателе все еще есть иррациональность. Чтобы устранить ее, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \frac{(4-\sqrt{11}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{11}\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5} $

Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5} $

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}} $, применим тот же метод. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $.

$ \frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}} = \frac{(\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}})^2}{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}} $

Вычислим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: $ (\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}})^2 = \sqrt{5}+\sqrt{3} $.
Знаменатель: $ \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5-3} = \sqrt{2} $.

Дробь теперь выглядит так: $ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $, чтобы окончательно избавиться от корня в знаменателе:

$ \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{2} + \sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2} $

в) Для дроби $ \frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}} $ используем аналогичный подход. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{\sqrt{5}-2} $. Заметим, что $ \sqrt{5} \approx 2.236 $, поэтому $ \sqrt{5}-2 > 0 $ и выражение под корнем корректно.

$ \frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}} = \frac{\sqrt{\sqrt{5}-2} \cdot \sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2} \cdot \sqrt{\sqrt{5}-2}} = \frac{(\sqrt{\sqrt{5}-2})^2}{\sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}} $

Вычислим числитель и знаменатель.
Числитель: $ (\sqrt{\sqrt{5}-2})^2 = \sqrt{5}-2 $.
Знаменатель: $ \sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5-4} = \sqrt{1} = 1 $.

В результате преобразований получаем:

$ \frac{\sqrt{5}-2}{1} = \sqrt{5}-2 $

Знаменатель стал равен 1, что является рациональным числом.

Ответ: $ \sqrt{5}-2 $