Номер 456, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 456, страница 109.

456. Известно, что числа $a$ и $b$ рациональные. Является ли рациональным число:

а) $a+b$;

б) $a-b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$ ($b \ne 0$)?

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — целое, не равное нулю. Пусть даны два рациональных числа $a$ и $b$. Это означает, что их можно представить в виде дробей: $a = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — целое, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$). $b = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — целое, не равное нулю ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$). Рассмотрим каждый случай.

а) a + b;

Найдем сумму чисел $a$ и $b$: $a + b = \frac{m}{n} + \frac{p}{q}$ Приведем дроби к общему знаменателю $nq$: $a + b = \frac{mq}{nq} + \frac{pn}{nq} = \frac{mq + pn}{nq}$ Числитель полученной дроби, $mq + pn$, является целым числом, поскольку представляет собой сумму произведений целых чисел. Знаменатель $nq$ является целым числом и не равен нулю, так как $n \neq 0$ и $q \neq 0$. Следовательно, сумма $a+b$ представляется в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — целое, не равное нулю. Значит, число $a+b$ является рациональным.

Ответ: да, является.

б) a - b;

Найдем разность чисел $a$ и $b$: $a - b = \frac{m}{n} - \frac{p}{q}$ Приведем дроби к общему знаменателю $nq$: $a - b = \frac{mq}{nq} - \frac{pn}{nq} = \frac{mq - pn}{nq}$ Числитель $mq - pn$ является целым числом (как разность произведений целых чисел). Знаменатель $nq$ является целым числом, не равным нулю. Следовательно, разность $a-b$ является рациональным числом.

Ответ: да, является.

в) ab;

Найдем произведение чисел $a$ и $b$: $ab = \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{mp}{nq}$ Числитель $mp$ является целым числом (как произведение целых чисел). Знаменатель $nq$ является целым числом, не равным нулю. Следовательно, произведение $ab$ является рациональным числом.

Ответ: да, является.

г) $\frac{a}{b}$ (b $\neq$ 0)?

Найдем частное чисел $a$ и $b$, при условии что $b \neq 0$. Условие $b \neq 0$ означает, что дробь $\frac{p}{q} \neq 0$, а это возможно только если ее числитель $p \neq 0$. $\frac{a}{b} = \frac{\frac{m}{n}}{\frac{p}{q}} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$ Числитель $mq$ является целым числом. Знаменатель $np$ является целым числом. Так как $n \neq 0$ и $p \neq 0$, их произведение $np$ также не равно нулю. Следовательно, частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом.

Ответ: да, является.