Номер 460, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 460, страница 109.

460. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

а) $\frac{23}{64}$;

б) $-\frac{7}{25}$;

в) $\frac{11}{13}$;

г) $\frac{1}{27}$;

д) $\frac{2}{35}$;

е) $-\frac{7}{22}$;

ж) $\frac{23}{30}$;

з) $\frac{12}{55}$.

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{23}{64}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Так как знаменатель дроби $64 = 2^6$ является степенью двойки, в результате деления получится конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической, дописав в периоде ноль.

Выполнив деление 23 на 64, получаем:

$\frac{23}{64} = 0,359375 = 0,359375000... = 0,359375(0)$.

Ответ: $0,359375(0)$.

б) Для дроби $-\frac{7}{25}$ знаменатель $25 = 5^2$ является степенью пятерки, поэтому дробь также будет конечной. Представим ее в виде бесконечной периодической дроби с периодом (0).

Разделим 7 на 25:

$\frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0,28$.

Следовательно, $-\frac{7}{25} = -0,28 = -0,28(0)$.

Ответ: $-0,28(0)$.

в) Чтобы представить дробь $\frac{11}{13}$ в виде десятичной, разделим столбиком числитель 11 на знаменатель 13. Так как знаменатель 13 — простое число, отличное от 2 и 5, дробь будет чисто периодической.

Выполняем деление:
$110 \div 13 = 8$ (остаток 6)
$60 \div 13 = 4$ (остаток 8)
$80 \div 13 = 6$ (остаток 2)
$20 \div 13 = 1$ (остаток 7)
$70 \div 13 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 13 = 3$ (остаток 11)
Остаток 11 равен исходному числителю, поэтому последовательность цифр 846153 начнет повторяться. Это и есть период.

$\frac{11}{13} = 0,(846153)$.

Ответ: $0,(846153)$.

г) Разделим 1 на 27 столбиком. Знаменатель $27 = 3^3$, поэтому дробь будет чисто периодической.

Выполняем деление:
$10 \div 27 = 0$ (остаток 10)
$100 \div 27 = 3$ (остаток 19)
$190 \div 27 = 7$ (остаток 1)
Остаток 1 повторился, значит, период дроби — 037.

$\frac{1}{27} = 0,(037)$.

Ответ: $0,(037)$.

д) Разделим 2 на 35. Знаменатель $35 = 5 \times 7$ содержит множители 5 и 7, поэтому дробь будет смешанной периодической.

Выполняем деление:
$20 \div 35 = 0$ (остаток 20)
$200 \div 35 = 5$ (остаток 25)
$250 \div 35 = 7$ (остаток 5)
$50 \div 35 = 1$ (остаток 15)
$150 \div 35 = 4$ (остаток 10)
$100 \div 35 = 2$ (остаток 30)
$300 \div 35 = 8$ (остаток 20)
Остаток 20 повторился. Это означает, что последовательность цифр, полученных после него (начиная с 5), будет повторяться. Период дроби — 571428. Первая цифра после запятой (0) не входит в период.

$\frac{2}{35} = 0,0(571428)$.

Ответ: $0,0(571428)$.

е) Для дроби $-\frac{7}{22}$ знаменатель $22 = 2 \times 11$, поэтому дробь будет смешанной периодической. Найдем десятичное представление для $\frac{7}{22}$.

Выполняем деление 7 на 22:
$70 \div 22 = 3$ (остаток 4)
$40 \div 22 = 1$ (остаток 18)
$180 \div 22 = 8$ (остаток 4)
Остаток 4 повторился. Период дроби — 18. Цифра 3 не входит в период.

Таким образом, $\frac{7}{22} = 0,3(18)$, а значит $-\frac{7}{22} = -0,3(18)$.

Ответ: $-0,3(18)$.

ж) Разделим 23 на 30. Знаменатель $30 = 2 \times 3 \times 5$, дробь будет смешанной периодической.

Выполняем деление:
$230 \div 30 = 7$ (остаток 20)
$200 \div 30 = 6$ (остаток 20)
Остаток 20 повторился. Период дроби — 6. Цифра 7 не входит в период.

$\frac{23}{30} = 0,7(6)$.

Ответ: $0,7(6)$.

з) Разделим 12 на 55. Знаменатель $55 = 5 \times 11$, дробь будет смешанной периодической.

Выполняем деление:
$120 \div 55 = 2$ (остаток 10)
$100 \div 55 = 1$ (остаток 45)
$450 \div 55 = 8$ (остаток 10)
Остаток 10 повторился. Период дроби — 18. Цифра 2 не входит в период.

$\frac{12}{55} = 0,2(18)$.

Ответ: $0,2(18)$.