Номер 451, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 451, страница 108.

451. Докажите, что верно равенство:

а) $\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}.$

а) Для доказательства данного равенства возведем в квадрат его правую часть, предварительно убедившись, что она положительна. Поскольку $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ являются положительными числами, их сумма $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ также положительна.
Воспользуемся формулой квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$:
$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.
Теперь преобразуем подкоренное выражение в левой части исходного равенства:
$10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 10 + \sqrt{4 \cdot 6} + \sqrt{4 \cdot 10} + \sqrt{4 \cdot 15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.
Так как квадрат правой части равенства равен подкоренному выражению левой части, а правая часть положительна, то равенство $\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ является верным.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}$ аналогично возведем в квадрат правую часть. Сначала проверим знак выражения $1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}$.
Сравним $1+\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты:
$(1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2\cdot1\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}$.
$(\sqrt{5})^2 = 5$.
Теперь сравним $4+2\sqrt{3}$ и $5$. Вычтем 4 из обеих частей: $2\sqrt{3}$ и $1$. Возведем в квадрат: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ и $1^2=1$.
Поскольку $12 > 1$, то $2\sqrt{3} > 1$, и $4+2\sqrt{3} > 5$. Следовательно, $1+\sqrt{3} > \sqrt{5}$, а значит, выражение $1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$ положительно.
Теперь возводим правую часть в квадрат по формуле $(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$:
$(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = 1 + 3 + 5 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15} = 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$.
Преобразуем подкоренное выражение в левой части:
$9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + \sqrt{4 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{4 \cdot 15} = 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$.
Квадрат правой части равен подкоренному выражению левой части. Так как правая часть положительна, равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.