Страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

447. Упростите выражение, вычислив предварительно значение $a^2$, если:

а) $a = \sqrt{11+\sqrt{85}} - \sqrt{11-\sqrt{85}};$

б) $a = \sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}}.$

а)

Дано выражение $a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Согласно условию, сначала вычислим значение $a^2$. Для этого возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 = (\sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}})^2$

$a^2 = (\sqrt{11 + \sqrt{85}})^2 - 2 \cdot \sqrt{11 + \sqrt{85}} \cdot \sqrt{11 - \sqrt{85}} + (\sqrt{11 - \sqrt{85}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{11 + \sqrt{85}})^2 = 11 + \sqrt{85}$

$(\sqrt{11 - \sqrt{85}})^2 = 11 - \sqrt{85}$

Для среднего члена используем свойство корней $\sqrt{u} \cdot \sqrt{v} = \sqrt{u \cdot v}$ и формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$:

$2 \cdot \sqrt{11 + \sqrt{85}} \cdot \sqrt{11 - \sqrt{85}} = 2 \cdot \sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 - \sqrt{85})} = 2 \cdot \sqrt{11^2 - (\sqrt{85})^2} = 2 \cdot \sqrt{121 - 85} = 2 \cdot \sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение для $a^2$:

$a^2 = (11 + \sqrt{85}) - 12 + (11 - \sqrt{85})$

$a^2 = 11 + \sqrt{85} - 12 + 11 - \sqrt{85}$

$a^2 = 22 - 12 = 10$

Мы получили, что $a^2 = 10$. Следовательно, $a$ может быть равно $\sqrt{10}$ или $-\sqrt{10}$.

Чтобы определить знак $a$, сравним уменьшаемое и вычитаемое в исходном выражении: $\sqrt{11 + \sqrt{85}}$ и $\sqrt{11 - \sqrt{85}}$. Так как $11 + \sqrt{85} > 11 - \sqrt{85}$, и функция квадратного корня является возрастающей, то $\sqrt{11 + \sqrt{85}} > \sqrt{11 - \sqrt{85}}$.

Следовательно, разность $a$ является положительным числом.

Таким образом, $a = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.

б)

Дано выражение $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$.

Вычислим значение $a^2$. Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})^2$

$a^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} + (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5}$

$(\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 = 3 - \sqrt{5}$

Для среднего члена используем свойство корней и формулу разности квадратов:

$2 \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} = 2 \cdot \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = 2 \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = 2 \cdot \sqrt{9 - 5} = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение для $a^2$:

$a^2 = (3 + \sqrt{5}) + 4 + (3 - \sqrt{5})$

$a^2 = 3 + \sqrt{5} + 4 + 3 - \sqrt{5}$

$a^2 = 6 + 4 = 10$

Мы получили, что $a^2 = 10$. Следовательно, $a$ может быть равно $\sqrt{10}$ или $-\sqrt{10}$.

Чтобы определить знак $a$, посмотрим на исходное выражение. Оба слагаемых, $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ и $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$, являются положительными числами (подкоренное выражение $3 - \sqrt{5} > 0$, так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$). Сумма двух положительных чисел является положительным числом.

Таким образом, $a = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.

449. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}}$;

б) $\frac{\sqrt{5+\sqrt{3}}}{\sqrt{5-\sqrt{3}}}$;

в) $\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} $, умножим числитель и знаменатель этой дроби на множитель $ \sqrt{4-\sqrt{11}} $. Это позволит применить формулу разности квадратов под корнем в знаменателе.

$ \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} = \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}} = \frac{(\sqrt{4-\sqrt{11}})^2}{\sqrt{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})}} $

Вычислим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: $ (\sqrt{4-\sqrt{11}})^2 = 4-\sqrt{11} $ (это возможно, так как $ 4 = \sqrt{16} $, и $ \sqrt{16} > \sqrt{11} $, следовательно $ 4-\sqrt{11} > 0 $).
Знаменатель: $ \sqrt{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{11})^2} = \sqrt{16-11} = \sqrt{5} $.

Таким образом, наша дробь принимает вид: $ \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{5}} $.

В знаменателе все еще есть иррациональность. Чтобы устранить ее, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \frac{(4-\sqrt{11}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{11}\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5} $

Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5} $

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}} $, применим тот же метод. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $.

$ \frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}} = \frac{(\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}})^2}{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}} $

Вычислим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: $ (\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}})^2 = \sqrt{5}+\sqrt{3} $.
Знаменатель: $ \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5-3} = \sqrt{2} $.

Дробь теперь выглядит так: $ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $, чтобы окончательно избавиться от корня в знаменателе:

$ \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{2} + \sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2} $

в) Для дроби $ \frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}} $ используем аналогичный подход. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{\sqrt{5}-2} $. Заметим, что $ \sqrt{5} \approx 2.236 $, поэтому $ \sqrt{5}-2 > 0 $ и выражение под корнем корректно.

$ \frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}} = \frac{\sqrt{\sqrt{5}-2} \cdot \sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2} \cdot \sqrt{\sqrt{5}-2}} = \frac{(\sqrt{\sqrt{5}-2})^2}{\sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}} $

Вычислим числитель и знаменатель.
Числитель: $ (\sqrt{\sqrt{5}-2})^2 = \sqrt{5}-2 $.
Знаменатель: $ \sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5-4} = \sqrt{1} = 1 $.

В результате преобразований получаем:

$ \frac{\sqrt{5}-2}{1} = \sqrt{5}-2 $

Знаменатель стал равен 1, что является рациональным числом.

Ответ: $ \sqrt{5}-2 $

451. Докажите, что верно равенство:

а) $\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}.$

а) Для доказательства данного равенства возведем в квадрат его правую часть, предварительно убедившись, что она положительна. Поскольку $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ являются положительными числами, их сумма $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ также положительна.
Воспользуемся формулой квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$:
$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.
Теперь преобразуем подкоренное выражение в левой части исходного равенства:
$10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 10 + \sqrt{4 \cdot 6} + \sqrt{4 \cdot 10} + \sqrt{4 \cdot 15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.
Так как квадрат правой части равенства равен подкоренному выражению левой части, а правая часть положительна, то равенство $\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ является верным.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}$ аналогично возведем в квадрат правую часть. Сначала проверим знак выражения $1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}$.
Сравним $1+\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты:
$(1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2\cdot1\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}$.
$(\sqrt{5})^2 = 5$.
Теперь сравним $4+2\sqrt{3}$ и $5$. Вычтем 4 из обеих частей: $2\sqrt{3}$ и $1$. Возведем в квадрат: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ и $1^2=1$.
Поскольку $12 > 1$, то $2\sqrt{3} > 1$, и $4+2\sqrt{3} > 5$. Следовательно, $1+\sqrt{3} > \sqrt{5}$, а значит, выражение $1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$ положительно.
Теперь возводим правую часть в квадрат по формуле $(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$:
$(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = 1 + 3 + 5 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15} = 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$.
Преобразуем подкоренное выражение в левой части:
$9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + \sqrt{4 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{4 \cdot 15} = 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$.
Квадрат правой части равен подкоренному выражению левой части. Так как правая часть положительна, равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.

453. Освободитесь от внешнего радикала в выражении:

a) $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}$, если $a \ge 1$;

б) $\sqrt{a+b+1+2\sqrt{a+b}} - \sqrt{a+b+1-2\sqrt{a+b}}$, если $a+b \ge 1$.

а) Чтобы освободиться от внешнего радикала в выражении $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}$, нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Заметим, что $a = (a-1) + 1$. Перепишем подкоренное выражение: $a+2\sqrt{a-1} = (a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1$. Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = \sqrt{a-1}$ и $y = 1$. Таким образом, $(a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1})^2 + 2\cdot\sqrt{a-1}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1}+1)^2$. Теперь вернемся к исходному выражению: $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1}+1)^2}$. Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(\sqrt{a-1}+1)^2} = |\sqrt{a-1}+1|$. По условию $a \ge 1$, следовательно $a-1 \ge 0$, и $\sqrt{a-1}$ является неотрицательным числом. Значит, сумма $\sqrt{a-1}+1$ всегда положительна. Поэтому модуль можно опустить: $|\sqrt{a-1}+1| = \sqrt{a-1}+1$.
Ответ: $\sqrt{a-1}+1$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{a+b+1+2\sqrt{a+b}} - \sqrt{a+b+1-2\sqrt{a+b}}$ при условии $a+b \ge 1$. Для удобства сделаем замену $x = a+b$. Тогда выражение примет вид: $\sqrt{x+1+2\sqrt{x}} - \sqrt{x+1-2\sqrt{x}}$, где $x \ge 1$. Преобразуем каждое подкоренное выражение в полный квадрат.
1. Для первого слагаемого: $x+1+2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 + 2\cdot\sqrt{x}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}+1)^2$. Тогда $\sqrt{x+1+2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x}+1)^2} = |\sqrt{x}+1|$. Поскольку $x \ge 1$, то $\sqrt{x} \ge 1$, и $\sqrt{x}+1 > 0$. Следовательно, $|\sqrt{x}+1| = \sqrt{x}+1$.
2. Для второго слагаемого: $x+1-2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 - 2\cdot\sqrt{x}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}-1)^2$. Тогда $\sqrt{x+1-2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x}-1)^2} = |\sqrt{x}-1|$. Поскольку $x \ge 1$, то $\sqrt{x} \ge 1$, и $\sqrt{x}-1 \ge 0$. Следовательно, $|\sqrt{x}-1| = \sqrt{x}-1$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное: $(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}+1 - \sqrt{x}+1 = 2$. Результат не зависит от $x$, а значит, и от $a$ и $b$.
Ответ: $2$.

446. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:

а) $\sqrt{55+\sqrt{216}}$;

б) $\sqrt{86-\sqrt{5460}}$;

в) $\sqrt{17+\sqrt{288}}$;

г) $\sqrt{32-\sqrt{1008}}$.

а)

Воспользуемся формулой двойного радикала: $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.
Эта формула работает, если $ A^2 - B $ является полным квадратом.
Для выражения $ \sqrt{55 + \sqrt{216}} $ имеем $ A = 55 $ и $ B = 216 $.
Найдем значение $ \sqrt{A^2 - B} $:
$ \sqrt{55^2 - 216} = \sqrt{3025 - 216} = \sqrt{2809} = 53 $.
Поскольку из $ A^2 - B $ извлекается целый корень, формула применима. Подставим значения, используя знак "плюс":
$ \sqrt{\frac{55 + 53}{2}} + \sqrt{\frac{55 - 53}{2}} = \sqrt{\frac{108}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{54} + \sqrt{1} $.
Упростим полученное выражение:
$ \sqrt{54} + 1 = \sqrt{9 \cdot 6} + 1 = 3\sqrt{6} + 1 $.
Ответ: $ 3\sqrt{6} + 1 $

б)

Применим формулу двойного радикала $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.
Для выражения $ \sqrt{86 - \sqrt{5460}} $ имеем $ A = 86 $ и $ B = 5460 $.
Вычислим $ \sqrt{A^2 - B} $:
$ \sqrt{86^2 - 5460} = \sqrt{7396 - 5460} = \sqrt{1936} = 44 $.
Формула применима. Подставляем значения, используя знак "минус", так как в исходном выражении стоит минус:
$ \sqrt{\frac{86 + 44}{2}} - \sqrt{\frac{86 - 44}{2}} = \sqrt{\frac{130}{2}} - \sqrt{\frac{42}{2}} = \sqrt{65} - \sqrt{21} $.
Корни $ \sqrt{65} $ и $ \sqrt{21} $ дальше не упрощаются.
Ответ: $ \sqrt{65} - \sqrt{21} $

в)

Используем формулу двойного радикала $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.
Для выражения $ \sqrt{17 + \sqrt{288}} $ имеем $ A = 17 $ и $ B = 288 $.
Найдем $ \sqrt{A^2 - B} $:
$ \sqrt{17^2 - 288} = \sqrt{289 - 288} = \sqrt{1} = 1 $.
Формула применима. Подставляем значения:
$ \sqrt{\frac{17 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{17 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} + \sqrt{\frac{16}{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{8} $.
Упростим результат:
$ 3 + \sqrt{4 \cdot 2} = 3 + 2\sqrt{2} $.
Ответ: $ 3 + 2\sqrt{2} $

г)

Воспользуемся формулой двойного радикала $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.
Для выражения $ \sqrt{32 - \sqrt{1008}} $ имеем $ A = 32 $ и $ B = 1008 $.
Вычислим $ \sqrt{A^2 - B} $:
$ \sqrt{32^2 - 1008} = \sqrt{1024 - 1008} = \sqrt{16} = 4 $.
Формула применима. Подставляем значения со знаком "минус":
$ \sqrt{\frac{32 + 4}{2}} - \sqrt{\frac{32 - 4}{2}} = \sqrt{\frac{36}{2}} - \sqrt{\frac{28}{2}} = \sqrt{18} - \sqrt{14} $.
Упростим $ \sqrt{18} $:
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $.
Окончательный результат: $ 3\sqrt{2} - \sqrt{14} $.
Ответ: $ 3\sqrt{2} - \sqrt{14} $

448. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:

а) $\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}}$?

а)

Чтобы определить, является ли значение выражения $\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}$ рациональным или иррациональным числом, упростим его. Для этого представим подкоренные выражения в виде полных квадратов, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $13+4\sqrt{3}$. Представим $4\sqrt{3}$ как $2 \cdot 2\sqrt{3}$. Нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=13$ и $ab=2\sqrt{3}$.

Попробуем $a=2\sqrt{3}$ и $b=1$. Тогда $a^2+b^2 = (2\sqrt{3})^2+1^2 = 12+1=13$. Это подходит.

Следовательно, $13+4\sqrt{3} = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (2\sqrt{3}+1)^2$.

Аналогично для второго подкоренного выражения: $13-4\sqrt{3} = (2\sqrt{3}-1)^2$.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2} - \sqrt{(2\sqrt{3}-1)^2}$

Поскольку $2\sqrt{3} = \sqrt{12} > 1$, оба выражения $2\sqrt{3}+1$ и $2\sqrt{3}-1$ являются положительными, поэтому:

$\sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{3}+1$

$\sqrt{(2\sqrt{3}-1)^2} = 2\sqrt{3}-1$

Тогда выражение равно:

$(2\sqrt{3}+1) - (2\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}+1 = 2$

Число 2 является целым, а следовательно, и рациональным числом.

Ответ: Значение выражения равно 2, что является рациональным числом.

б)

Упростим выражение $\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}}$, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Рассмотрим подкоренное выражение $19-2\sqrt{34}$. Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=19$ и $2ab=2\sqrt{34}$, то есть $ab=\sqrt{34}$.

Так как $34 = 17 \cdot 2$, можно предположить, что $a=\sqrt{17}$ и $b=\sqrt{2}$. Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (\sqrt{17})^2+(\sqrt{2})^2 = 17+2=19$. Это верно.

Следовательно, мы можем записать:

$19-2\sqrt{34} = (\sqrt{17})^2 - 2\sqrt{17}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{17}-\sqrt{2})^2$

$19+2\sqrt{34} = (\sqrt{17})^2 + 2\sqrt{17}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{17}+\sqrt{2})^2$

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}} = \sqrt{(\sqrt{17}-\sqrt{2})^2} + \sqrt{(\sqrt{17}+\sqrt{2})^2}$

Так как $\sqrt{17} > \sqrt{2}$, оба выражения $\sqrt{17}-\sqrt{2}$ и $\sqrt{17}+\sqrt{2}$ положительны. Таким образом, извлекая корни, получаем:

$(\sqrt{17}-\sqrt{2}) + (\sqrt{17}+\sqrt{2}) = \sqrt{17}-\sqrt{2}+\sqrt{17}+\sqrt{2} = 2\sqrt{17}$

Число $\sqrt{17}$ является иррациональным, так как 17 — простое число, и корень из него не извлекается нацело. Произведение ненулевого рационального числа (2) и иррационального числа ($\sqrt{17}$) является иррациональным числом.

Ответ: Значение выражения равно $2\sqrt{17}$, что является иррациональным числом.

450. Найдите значение выражения:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Чтобы найти значение выражения, будем упрощать его по частям. Исходное выражение:

$ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} $

Сначала перемножим второй и третий множители. Воспользуемся свойством корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $:

$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}) \cdot (2-\sqrt{2+\sqrt{3}})} $

Выражение под внешним корнем является произведением суммы и разности двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $. В нашем случае $ x=2 $ и $ y=\sqrt{2+\sqrt{3}} $.

Применим эту формулу:

$ (2+\sqrt{2+\sqrt{3}}) \cdot (2-\sqrt{2+\sqrt{3}}) = 2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 = 4 - (2+\sqrt{3}) = 4 - 2 - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} $

Таким образом, произведение второго и третьего множителей равно $ \sqrt{2-\sqrt{3}} $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} $

Снова применим свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $ и формулу разности квадратов:

$ \sqrt{(2+\sqrt{3}) \cdot (2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 $

Ответ: 1

452. Упростите выражение:

a) $\sqrt{\frac{b+1}{2} - \sqrt{b}} - \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}}$, где $b \ge 1$;

б) $\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} - \sqrt{\frac{c+4}{4} - \sqrt{c}}$, где $c \ge 4$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{b+1}{2} - \sqrt{b}} - \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}}$ при $b \geq 1$, преобразуем выражения под знаками корня, выделив полные квадраты. Рассмотрим первое подкоренное выражение: $\frac{b+1}{2} - \sqrt{b} = \frac{b+1-2\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 1 + 1^2}{2} = \frac{(\sqrt{b}-1)^2}{2}$. Следовательно, первый член исходного выражения равен $\sqrt{\frac{(\sqrt{b}-1)^2}{2}} = \frac{|\sqrt{b}-1|}{\sqrt{2}}$. Поскольку по условию $b \geq 1$, то $\sqrt{b} \geq 1$, а значит $\sqrt{b}-1 \geq 0$. Таким образом, $|\sqrt{b}-1| = \sqrt{b}-1$, и первый член равен $\frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}}$. Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: $\frac{b+1}{2} + \sqrt{b} = \frac{b+1+2\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{b})^2 + 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 1 + 1^2}{2} = \frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2}$. Второй член исходного выражения равен $\sqrt{\frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2}} = \frac{|\sqrt{b}+1|}{\sqrt{2}}$. Так как $b \geq 1$, выражение $\sqrt{b}+1$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{b}+1| = \sqrt{b}+1$. Второй член равен $\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}}$. Подставим полученные выражения в исходное: $\frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{b}-1) - (\sqrt{b}+1)}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{b}-1 - \sqrt{b}-1}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} - \sqrt{\frac{c+4}{4} - \sqrt{c}}$ при $c \geq 4$, воспользуемся тем же методом. Рассмотрим первое подкоренное выражение: $\frac{c+4}{4} + \sqrt{c} = \frac{c+4+4\sqrt{c}}{4} = \frac{(\sqrt{c})^2 + 2 \cdot \sqrt{c} \cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4}$. Следовательно, первый член равен $\sqrt{\frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4}} = \frac{|\sqrt{c}+2|}{2}$. Поскольку $c \geq 4$, выражение $\sqrt{c}+2$ всегда положительно. Значит, первый член равен $\frac{\sqrt{c}+2}{2}$. Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: $\frac{c+4}{4} - \sqrt{c} = \frac{c+4-4\sqrt{c}}{4} = \frac{(\sqrt{c})^2 - 2 \cdot \sqrt{c} \cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4}$. Второй член равен $\sqrt{\frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4}} = \frac{|\sqrt{c}-2|}{2}$. По условию $c \geq 4$, следовательно $\sqrt{c} \geq \sqrt{4} = 2$, откуда $\sqrt{c}-2 \geq 0$. Таким образом, $|\sqrt{c}-2| = \sqrt{c}-2$. Второй член равен $\frac{\sqrt{c}-2}{2}$. Подставим полученные выражения в исходное: $\frac{\sqrt{c}+2}{2} - \frac{\sqrt{c}-2}{2} = \frac{(\sqrt{c}+2) - (\sqrt{c}-2)}{2} = \frac{\sqrt{c}+2 - \sqrt{c}+2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $2$.