Страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

445. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2};$

б) $\sqrt{27 - 5\sqrt{8}} + \sqrt{2}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2}$, необходимо упростить подкоренное выражение $11 + 6\sqrt{2}$. Для этого представим его в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Постараемся подобрать такие $a$ и $b$, чтобы $a^2+b^2=11$ и $2ab=6\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=3$ и $b=\sqrt{2}$.
Проверим первое уравнение: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9+2=11$.
Предположение верно, следовательно, $11+6\sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^2$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \sqrt{(3+\sqrt{2})^2} - \sqrt{2}$.
Так как $3+\sqrt{2} > 0$, то $\sqrt{(3+\sqrt{2})^2} = 3+\sqrt{2}$.
Получаем: $(3+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3+\sqrt{2}-\sqrt{2} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{27 - 5\sqrt{8}} + \sqrt{2}$, сначала упростим радикал $\sqrt{8}$.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим это в выражение: $\sqrt{27 - 5(2\sqrt{2})} + \sqrt{2} = \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} + \sqrt{2}$.
Теперь упростим подкоренное выражение $27 - 10\sqrt{2}$, представив его в виде полного квадрата разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы $a^2+b^2=27$ и $2ab=10\sqrt{2}$.
Из второго уравнения $ab = 5\sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.
Проверим первое уравнение: $a^2+b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25+2=27$.
Предположение верно, значит, $27 - 10\sqrt{2} = (5-\sqrt{2})^2$.
Подставим это в наше выражение:
$\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} + \sqrt{2}$.
Так как $5 > \sqrt{2}$ (поскольку $25 > 2$), то $5-\sqrt{2} > 0$, и $\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} = 5-\sqrt{2}$.
Получаем: $(5-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 5-\sqrt{2}+\sqrt{2} = 5$.
Ответ: 5

444. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

a) $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$;

б) $\sqrt{11-4\sqrt{7}}$.

а)

Чтобы освободиться от внешнего радикала в выражении $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$, необходимо представить подкоренное выражение $6 + 2\sqrt{5}$ в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Сравнивая выражение $6 + 2\sqrt{5}$ с формулой $a^2+b^2+2ab$, мы можем сопоставить их части. Удвоенное произведение $2ab$ должно быть равно слагаемому с корнем, а сумма квадратов $a^2+b^2$ — целому слагаемому:

• $2ab = 2\sqrt{5}$
• $a^2+b^2=6$

Из первого уравнения получаем $ab = \sqrt{5}$. Возведем обе части в квадрат: $(ab)^2 = 5$, то есть $a^2b^2=5$.
Теперь у нас есть система для $a^2$ и $b^2$:

$ \begin{cases} a^2+b^2=6 \\ a^2b^2=5 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a^2$ и $b^2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Корни: $t_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6+4}{2} = 5$ и $t_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6-4}{2} = 1$.
Таким образом, мы можем положить $a^2=5$ и $b^2=1$. Отсюда, так как $a$ и $b$ должны быть положительными, $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{1}=1$.

Теперь мы можем представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы:

$6 + 2\sqrt{5} = 5 + 1 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 1^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 = (\sqrt{5}+1)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = |\sqrt{5}+1|$.

Поскольку $\sqrt{5} > 0$, то сумма $\sqrt{5}+1$ является положительным числом, и модуль можно опустить.

$\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{5}+1$.

Ответ: $\sqrt{5}+1$.

б)

Для выражения $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$ используем аналогичный метод. Представим подкоренное выражение $11 - 4\sqrt{7}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сравниваем $11 - 4\sqrt{7}$ с $a^2+b^2-2ab$. Сопоставляем части:

• $2ab = 4\sqrt{7}$
• $a^2+b^2=11$

Из первого уравнения получаем $ab = 2\sqrt{7}$. Возведем обе части в квадрат: $(ab)^2 = (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$.
Получаем систему для $a^2$ и $b^2$:

$ \begin{cases} a^2+b^2=11 \\ a^2b^2=28 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $a^2$ и $b^2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 28 = 0$.
Найдем корни. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$.
Корни: $t_1 = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11+3}{2} = 7$ и $t_2 = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11-3}{2} = 4$.
Следовательно, $a^2=7$ и $b^2=4$. Отсюда $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{4}=2$.

Теперь представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$11 - 4\sqrt{7} = 7 + 4 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 = (\sqrt{7}-2)^2$.

Подставляем это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2|$.

Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{7}$ и $2$. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{7})^2=7$ и $2^2=4$. Так как $7 > 4$, то $\sqrt{7} > 2$. Следовательно, разность $\sqrt{7}-2$ является положительным числом, и модуль можно опустить.

$\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{7}-2$.

Ответ: $\sqrt{7}-2$.