Страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

418. (Для работы в парах.) Площадь треугольника S см² со сторонами a см, b см и с см можно вычислить по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

где p — полупериметр треугольника.

Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

а) 12 см, 16 см, 24 см; б) 18 см, 22 см, 26 см.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.

2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.

3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

1) Для выполнения этого пункта необходимо распределить задания а) и б) и выполнить вычисления.

а) Найдем площадь треугольника со сторонами $a = 12$ см, $b = 16$ см, $c = 24$ см по формуле Герона.

1. Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+16+24}{2} = \frac{52}{2} = 26$ см.

2. Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{26(26-12)(26-16)(26-24)}$

$S = \sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2}$

$S = \sqrt{7280}$

3. Используя калькулятор, извлечем квадратный корень:

$S \approx 85.32$ см$^2$.

Ответ: $S \approx 85.32$ см$^2$.

б) Найдем площадь треугольника со сторонами $a = 18$ см, $b = 22$ см, $c = 26$ см по формуле Герона.

1. Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{18+22+26}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

2. Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{33(33-18)(33-22)(33-26)}$

$S = \sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7}$

$S = \sqrt{38115}$

3. Используя калькулятор, извлечем квадратный корень:

$S \approx 195.23$ см$^2$.

Ответ: $S \approx 195.23$ см$^2$.

2) Этот пункт предполагает взаимную проверку вычислений, выполненных в пунктах а) и б).

3) Обсудим, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза.

Предположение: Если стороны треугольника увеличить в 2 раза, то его площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза. Это связано с тем, что площадь является двумерной величиной.

Выполним необходимые преобразования, чтобы доказать это.

Пусть у нас есть исходный треугольник со сторонами $a, b, c$. Его полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, а его площадь $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Теперь создадим новый треугольник, увеличив каждую сторону в 2 раза. Новые стороны будут $a' = 2a$, $b' = 2b$ и $c' = 2c$.

Найдем полупериметр нового треугольника, $p'$:

$p' = \frac{a'+b'+c'}{2} = \frac{2a+2b+2c}{2} = \frac{2(a+b+c)}{2} = 2 \cdot \frac{a+b+c}{2} = 2p$.

Как видим, новый полупериметр в 2 раза больше исходного.

Теперь вычислим площадь нового треугольника, $S'$, используя формулу Герона с новыми сторонами и новым полупериметром:

$S' = \sqrt{p'(p'-a')(p'-b')(p'-c')}$

Подставим выражения для $p'$, $a'$, $b'$, $c'$:

$p' - a' = 2p - 2a = 2(p-a)$

$p' - b' = 2p - 2b = 2(p-b)$

$p' - c' = 2p - 2c = 2(p-c)$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $S'$:

$S' = \sqrt{(2p) \cdot (2(p-a)) \cdot (2(p-b)) \cdot (2(p-c))}$

Сгруппируем множители "2" под корнем:

$S' = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S' = \sqrt{16 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Вынесем $\sqrt{16}$ из-под знака корня:

$S' = \sqrt{16} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S' = 4 \cdot S$

Таким образом, мы доказали, что площадь нового треугольника в 4 раза больше площади исходного треугольника.

Ответ: Если каждую сторону треугольника увеличить в 2 раза, его площадь увеличится в 4 раза.

420. Решите уравнение:

а) $\frac{4x-1}{12} + \frac{7}{4} = \frac{5-x}{9};$

б) $\frac{2x-9}{6} - \frac{2(5x+3)}{15} = \frac{1}{2}.$

а) Решим уравнение $ \frac{4x - 1}{12} + \frac{7}{4} = \frac{5 - x}{9} $.

Для того чтобы избавиться от дробей, приведем все члены уравнения к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12, 4 и 9 равно 36. Умножим обе части уравнения на 36:

$ 36 \cdot \frac{4x - 1}{12} + 36 \cdot \frac{7}{4} = 36 \cdot \frac{5 - x}{9} $

После сокращения получим:

$ 3(4x - 1) + 9 \cdot 7 = 4(5 - x) $

Раскроем скобки в уравнении:

$ 12x - 3 + 63 = 20 - 4x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 12x + 60 = 20 - 4x $

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$ 12x + 4x = 20 - 60 $

$ 16x = -40 $

Разделим обе части на 16, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2} = -2.5 $

Ответ: $x = -2.5$.

б) Решим уравнение $ \frac{2x - 9}{6} - \frac{2(5x + 3)}{15} = \frac{1}{2} $.

Сначала упростим числитель второй дроби: $2(5x + 3) = 10x + 6$. Уравнение примет вид:

$ \frac{2x - 9}{6} - \frac{10x + 6}{15} = \frac{1}{2} $

Найдем НОК знаменателей 6, 15 и 2. НОК(6, 15, 2) = 30. Умножим все уравнение на 30:

$ 30 \cdot \frac{2x - 9}{6} - 30 \cdot \frac{10x + 6}{15} = 30 \cdot \frac{1}{2} $

После сокращения получим:

$ 5(2x - 9) - 2(10x + 6) = 15 $

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед вторым слагаемым:

$ 10x - 45 - 20x - 12 = 15 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (10x - 20x) + (-45 - 12) = 15 $

$ -10x - 57 = 15 $

Перенесем -57 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$ -10x = 15 + 57 $

$ -10x = 72 $

Разделим обе части на -10, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{72}{-10} = -7.2 $

Ответ: $x = -7.2$.

419. В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — $ \frac{5}{7} $ числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе?

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим количество книг, переплетенных в первый день, через переменную $x$.

Исходя из условия, количество книг, переплетенных в другие дни, можно выразить через $x$:

Во второй день было переплетено на 12 книг больше, чем в первый, то есть $x + 12$ книг.

В третий день было переплетено $\frac{5}{7}$ от общего числа книг за первые два дня. Сумма книг за первые два дня составляет $x + (x + 12) = 2x + 12$. Следовательно, за третий день было переплетено $\frac{5}{7}(2x + 12)$ книг.

Общее количество книг, переплетенных за три дня, равно 144. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 12) + \frac{5}{7}(2x + 12) = 144$

Сгруппируем первые два слагаемых:

$(2x + 12) + \frac{5}{7}(2x + 12) = 144$

Вынесем общий множитель $(2x + 12)$ за скобку:

$(2x + 12) \cdot (1 + \frac{5}{7}) = 144$

Упростим выражение в скобках:

$1 + \frac{5}{7} = \frac{7}{7} + \frac{5}{7} = \frac{12}{7}$

Подставим результат в уравнение:

$(2x + 12) \cdot \frac{12}{7} = 144$

Теперь найдем значение выражения $(2x + 12)$, которое представляет собой количество книг за первые два дня:

$2x + 12 = 144 \div \frac{12}{7}$

$2x + 12 = 144 \cdot \frac{7}{12}$

$2x + 12 = 12 \cdot 7$

$2x + 12 = 84$

Теперь, зная сумму за два дня, найдем $x$ (количество книг за первый день):

$2x = 84 - 12$

$2x = 72$

$x = 36$

Мы нашли, что в первый день было переплетено 36 книг. Теперь можем найти количество книг за остальные дни:

В первый день: 36 книг.

Во второй день: $x + 12 = 36 + 12 = 48$ книг.

В третий день: $144 - (36 + 48) = 144 - 84 = 60$ книг. (Или, по условию: $\frac{5}{7} \cdot 84 = 5 \cdot 12 = 60$ книг).

Проверка: $36 + 48 + 60 = 144$.

Ответ: в первый день учащиеся переплели 36 книг, во второй день — 48 книг, в третий день — 60 книг.