Страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

386. Найдите значение частного:

а) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$;

б) $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}}$;

в) $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}$;

г) $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}$;

д) $\frac{\sqrt{7,5}}{\sqrt{0,3}}$.

а) Чтобы найти значение частного $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$, воспользуемся свойством частного арифметических квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \sqrt{\frac{2}{18}}$

Сократим дробь под знаком корня:

$\sqrt{\frac{2}{18}} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}}$.

Используем то же свойство частного корней:

$\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}} = \sqrt{\frac{23}{2300}}$

Сократим подкоренное выражение, разделив числитель и знаменатель на 23:

$\sqrt{\frac{23}{2300}} = \sqrt{\frac{1}{100}}$

Извлечем корень:

$\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

в) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}$.

Применим свойство частного корней:

$\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}} = \sqrt{\frac{52}{117}}$

Для сокращения дроби найдем общий делитель для 52 и 117. Разложим их на простые множители: $52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$; $117 = 9 \cdot 13 = 3^2 \cdot 13$. Общий множитель - 13.

$\sqrt{\frac{52}{117}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 13}{9 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Извлечем корень:

$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}$.

По свойству частного корней:

$\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}} = \sqrt{\frac{12500}{500}}$

Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 100, а затем на 5:

$\sqrt{\frac{12500}{500}} = \sqrt{\frac{125}{5}} = \sqrt{25}$

Извлечем корень:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: $5$.

д) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{7,5}}{\sqrt{0,3}}$.

Используем свойство частного корней:

$\frac{\sqrt{7,5}}{\sqrt{0,3}} = \sqrt{\frac{7,5}{0,3}}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей в подкоренном выражении, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\sqrt{\frac{7,5 \cdot 10}{0,3 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{75}{3}}$

Выполним деление под знаком корня:

$\sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25}$

Извлечем корень:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: $5$.

388. Значение выражения $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} $ с помощью калькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt{3} $ и результаты перемножить или заменить произведение $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} $ выражением $ \sqrt{6} $ и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления.

В задаче предлагается вычислить значение выражения $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} $ двумя способами и определить, какой из них удобнее. Выполним оба требования.

Выполните вычисления

Способ 1: найти значения $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt{3} $ и результаты перемножить.
С помощью калькулятора находим приближенные значения корней. Для большей точности возьмем несколько знаков после запятой:
$ \sqrt{2} \approx 1,41421 $
$ \sqrt{3} \approx 1,73205 $
Теперь перемножим полученные приближенные значения:
$ 1,41421 \cdot 1,73205 = 2,4494820405 $
Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $ 2,4495 $.

Способ 2: заменить произведение $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} $ выражением $ \sqrt{6} $ и затем найти его значение.
Используем свойство произведения квадратных корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:
$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6} $
Теперь с помощью калькулятора находим значение $ \sqrt{6} $:
$ \sqrt{6} \approx 2,44948974... $
Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $ 2,4495 $.

Ответ: При вычислении обоими способами с округлением до четырех знаков после запятой результат равен $2,4495$.

Каким из этих способов удобнее пользоваться?

Сравним два предложенных способа.
Первый способ требует выполнения трех действий: найти $ \sqrt{2} $, найти $ \sqrt{3} $ и перемножить результаты. Каждое извлечение корня дает приближенное число, и умножение этих приближенных чисел может привести к накоплению погрешности.
Второй способ требует одного простого арифметического действия, которое легко выполнить в уме ($ 2 \cdot 3 = 6 $), и только одного действия на калькуляторе — извлечения корня из $ \sqrt{6} $. Этот способ не только требует меньше действий, но и является более точным, так как операция извлечения корня, вносящая погрешность, выполняется лишь один раз с точным подкоренным выражением.

Ответ: Удобнее пользоваться вторым способом, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает более высокую точность.

390. Представьте в виде квадрата некоторого выражения:

а) $a^4$;

б) $a^6$;

в) $a^{18}$;

г) $\frac{1}{a^{10}}$;

д) $a^2b^8$;

е) $\frac{a^6}{b^{12}}$.

а) Чтобы представить выражение $a^4$ в виде квадрата некоторого выражения, воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{mn}$. Нам нужно найти такое выражение $X$, что $X^2 = a^4$. Если представить $X$ как $a^k$, то получим $(a^k)^2 = a^{2k}$. Приравнивая показатели степени, получаем уравнение $2k = 4$, откуда $k=2$. Таким образом, исходное выражение можно представить как квадрат выражения $a^2$.

Ответ: $(a^2)^2$

б) Чтобы представить выражение $a^6$ в виде квадрата, ищем такое выражение $X$, что $X^2 = a^6$. Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, мы можем записать $a^6$ как $(a^k)^2 = a^{2k}$. Отсюда следует, что $2k = 6$, что дает $k=3$. Следовательно, $a^6$ можно представить как квадрат выражения $a^3$.

Ответ: $(a^3)^2$

в) Аналогично предыдущим пунктам, чтобы представить $a^{18}$ в виде квадрата, мы ищем показатель степени $k$ такой, что $(a^k)^2 = a^{18}$. Это приводит к уравнению $2k = 18$, решением которого является $k=9$. Таким образом, $a^{18}$ является квадратом выражения $a^9$.

Ответ: $(a^9)^2$

г) Чтобы представить дробь $\frac{1}{a^{10}}$ в виде квадрата, воспользуемся свойством степени для дроби $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$. Мы можем записать $1$ как $1^2$. Для знаменателя ищем $k$ такое, что $(a^k)^2 = a^{10}$. Отсюда $2k=10$, то есть $k=5$. Значит, $a^{10}=(a^5)^2$. Таким образом, $\frac{1}{a^{10}} = \frac{1^2}{(a^5)^2}$. Применив свойство степени для дроби в обратную сторону, получаем искомое представление.

Ответ: $(\frac{1}{a^5})^2$

д) Чтобы представить произведение $a^2b^8$ в виде квадрата, используем свойство $(xy)^n = x^n y^n$. Нам нужно представить каждый множитель в виде квадрата. $a^2$ — это уже квадрат $a$, то есть $a^2 = (a^1)^2$. Для $b^8$ ищем $k$ такое, что $(b^k)^2 = b^8$, откуда $2k=8$ и $k=4$. Значит, $b^8 = (b^4)^2$. Теперь мы можем записать исходное выражение как произведение квадратов: $a^2b^8 = (a)^2(b^4)^2$. Используя свойство степени произведения, объединяем их под одним знаком квадрата.

Ответ: $(ab^4)^2$

е) Для представления дроби $\frac{a^6}{b^{12}}$ в виде квадрата, мы работаем с числителем и знаменателем отдельно. Для числителя $a^6$: $(a^k)^2 = a^6$, откуда $2k=6$ и $k=3$. Значит, $a^6 = (a^3)^2$. Для знаменателя $b^{12}$: $(b^m)^2 = b^{12}$, откуда $2m=12$ и $m=6$. Значит, $b^{12} = (b^6)^2$. Исходная дробь принимает вид $\frac{(a^3)^2}{(b^6)^2}$. Используя свойство степени для дроби $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ в обратном порядке, получаем искомое представление.

Ответ: $(\frac{a^3}{b^6})^2$

392. Решите уравнение:

а) $ \frac{2x}{5} - \frac{x+18}{6} = 23 + \frac{x}{30} $

б) $ \frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5} = \frac{3x-1}{4} $

а) $ \frac{2x}{5} - \frac{x+18}{6} = 23 + \frac{x}{30} $

Чтобы решить уравнение, избавимся от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 5, 6 и 30. НОЗ(5, 6, 30) = 30.

Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot \left(\frac{2x}{5} - \frac{x+18}{6}\right) = 30 \cdot \left(23 + \frac{x}{30}\right) $

$ \frac{30 \cdot 2x}{5} - \frac{30 \cdot (x+18)}{6} = 30 \cdot 23 + \frac{30 \cdot x}{30} $

Сократим дроби, разделив числитель и знаменатель на общий множитель:

$ 6 \cdot 2x - 5 \cdot (x+18) = 690 + x $

Теперь раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю:

$ 12x - 5x - 90 = 690 + x $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ 7x - 90 = 690 + x $

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$ 7x - x = 690 + 90 $

$ 6x = 780 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$ x = \frac{780}{6} $

$ x = 130 $

Ответ: $x = 130$.

б) $ \frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5} = \frac{3x-1}{4} $

Для решения этого уравнения также избавимся от дробей. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 3, 5 и 4. Так как числа взаимно простые, НОЗ(3, 5, 4) = $3 \cdot 5 \cdot 4 = 60$.

Умножим обе части уравнения на 60:

$ 60 \cdot \left(\frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5}\right) = 60 \cdot \frac{3x-1}{4} $

$ \frac{60 \cdot (x-1)}{3} + \frac{60 \cdot (2x+1)}{5} = \frac{60 \cdot (3x-1)}{4} $

Сократим дроби:

$ 20 \cdot (x-1) + 12 \cdot (2x+1) = 15 \cdot (3x-1) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 20x - 20 + 24x + 12 = 45x - 15 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (20x + 24x) + (-20 + 12) = 45x - 15 $

$ 44x - 8 = 45x - 15 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$ 15 - 8 = 45x - 44x $

Выполним вычисления:

$ 7 = x $

Ответ: $x = 7$.

387. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{40}$;

б) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$;

в) $\sqrt{162} \cdot \sqrt{2}$;

г) $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}};$

д) $\sqrt{110} \cdot \sqrt{4,4}$;

е) $\sqrt{1\frac{4}{5}} \cdot \sqrt{0,2}$;

ж) $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}};$

з) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}.$

а) Для нахождения значения произведения корней воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{40} = \sqrt{10 \cdot 40} = \sqrt{400}$
Так как $20^2 = 400$, то $\sqrt{400} = 20$.
Ответ: 20.

б) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36}$
Квадратный корень из 36 равен 6.
Ответ: 6.

в) Применим свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{162} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{162 \cdot 2} = \sqrt{324}$
Чтобы найти корень из 324, можно заметить, что $10^2 = 100$ и $20^2=400$, а так как число 324 оканчивается на 4, то корень должен оканчиваться на 2 или 8. Проверим 18: $18^2 = 324$.
$\sqrt{324} = 18$.
Ответ: 18.

г) Снова используем свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}}$
Сократим дробь под корнем: $\sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}}$.
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Применяем свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{110} \cdot \sqrt{4,4} = \sqrt{110 \cdot 4,4} = \sqrt{484}$
Так как $20^2 = 400$, а число 484 оканчивается на 4, проверим 22: $22^2 = 484$.
$\sqrt{484} = 22$.
Ответ: 22.

е) Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.
$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Теперь перемножим корни: $\sqrt{1\frac{4}{5}} \cdot \sqrt{0,2} = \sqrt{\frac{9}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{9}{25}}$
$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

ж) Для нахождения значения частного корней воспользуемся свойством $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}} = \sqrt{\frac{999}{111}}$
Так как $999 : 111 = 9$, то получаем: $\sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

з) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}} = \sqrt{\frac{15}{735}}$
Сократим дробь под корнем. Оба числа делятся на 15. $735 : 15 = 49$.
$\sqrt{\frac{15 : 15}{735 : 15}} = \sqrt{\frac{1}{49}}$
$\sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

389. Найдите значение выражения $\sqrt{x^2}$, если $x = -4; -3; 0; 9; 20.$

При каких значениях $x$ выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл?

Для решения первой части задачи необходимо подставить указанные значения $x$ в выражение $\sqrt{x^2}$. При этом важно помнить тождество: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Если x = -4:
Подставляем значение в выражение: $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
Используя тождество с модулем: $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.
Ответ: 4

Если x = -3:
Подставляем значение в выражение: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
Используя тождество с модулем: $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.
Ответ: 3

Если x = 0:
Подставляем значение в выражение: $\sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0$.
Используя тождество с модулем: $\sqrt{0^2} = |0| = 0$.
Ответ: 0

Если x = 9:
Подставляем значение в выражение: $\sqrt{9^2} = \sqrt{81} = 9$.
Используя тождество с модулем: $\sqrt{9^2} = |9| = 9$.
Ответ: 9

Если x = 20:
Подставляем значение в выражение: $\sqrt{20^2} = \sqrt{400} = 20$.
Используя тождество с модулем: $\sqrt{20^2} = |20| = 20$.
Ответ: 20

При каких значениях x выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл?

Выражение с арифметическим квадратным корнем $\sqrt{A}$ имеет смысл (определено) тогда и только тогда, когда подкоренное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$.
В данном случае подкоренное выражение — это $x^2$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $x^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа (будь то положительное, отрицательное или ноль) всегда является неотрицательным числом. Таким образом, неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: Выражение имеет смысл при любых значениях $x$.

391. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной $a$ см, высота параллелепипеда равна $b$ см, а его объём равен $V$ см$^3$. Выразите переменную $a$ через $b$ и $V$.

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$): $V = S_{осн} \cdot h$.

В данной задаче основанием является квадрат со стороной $a$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = \text{сторона}^2$. Следовательно, площадь основания нашего параллелепипеда равна: $S_{осн} = a^2$.

Высота параллелепипеда по условию равна $b$, то есть $h = b$.

Подставим выражения для площади основания и высоты в формулу объема: $V = a^2 \cdot b$.

Теперь необходимо выразить переменную $a$ через $V$ и $b$. Для этого преобразуем полученное уравнение. Сначала выразим $a^2$, разделив обе части уравнения на $b$ (при условии, что $b \ne 0$, что верно, так как это высота): $a^2 = \frac{V}{b}$.

Далее, чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как $a$ обозначает длину стороны, она является положительной величиной, поэтому мы берем арифметический (положительный) квадратный корень: $a = \sqrt{\frac{V}{b}}$.

Ответ: $a = \sqrt{\frac{V}{b}}$