Номер 386, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 386, страница 93.

386. Найдите значение частного:

а) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$;

б) $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}}$;

в) $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}$;

г) $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}$;

д) $\frac{\sqrt{7,5}}{\sqrt{0,3}}$.

а) Чтобы найти значение частного $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$, воспользуемся свойством частного арифметических квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \sqrt{\frac{2}{18}}$

Сократим дробь под знаком корня:

$\sqrt{\frac{2}{18}} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}}$.

Используем то же свойство частного корней:

$\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}} = \sqrt{\frac{23}{2300}}$

Сократим подкоренное выражение, разделив числитель и знаменатель на 23:

$\sqrt{\frac{23}{2300}} = \sqrt{\frac{1}{100}}$

Извлечем корень:

$\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

в) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}$.

Применим свойство частного корней:

$\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}} = \sqrt{\frac{52}{117}}$

Для сокращения дроби найдем общий делитель для 52 и 117. Разложим их на простые множители: $52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$; $117 = 9 \cdot 13 = 3^2 \cdot 13$. Общий множитель - 13.

$\sqrt{\frac{52}{117}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 13}{9 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Извлечем корень:

$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}$.

По свойству частного корней:

$\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}} = \sqrt{\frac{12500}{500}}$

Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 100, а затем на 5:

$\sqrt{\frac{12500}{500}} = \sqrt{\frac{125}{5}} = \sqrt{25}$

Извлечем корень:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: $5$.

д) Найдем значение частного $\frac{\sqrt{7,5}}{\sqrt{0,3}}$.

Используем свойство частного корней:

$\frac{\sqrt{7,5}}{\sqrt{0,3}} = \sqrt{\frac{7,5}{0,3}}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей в подкоренном выражении, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\sqrt{\frac{7,5 \cdot 10}{0,3 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{75}{3}}$

Выполним деление под знаком корня:

$\sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25}$

Извлечем корень:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: $5$.