Номер 381, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 381, страница 92.

381. Укажите натуральные значения $n$, при которых $\sqrt{n^2 - 75}$ является натуральным числом.

Для того чтобы выражение $\sqrt{n^2 - 75}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы подкоренное выражение $n^2 - 75$ было полным квадратом некоторого натурального числа. Обозначим это натуральное число как $m$.

Тогда должно выполняться равенство:

$\sqrt{n^2 - 75} = m$, где $n, m \in \mathbb{N}$ (натуральные числа).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$n^2 - 75 = m^2$

Перенесем $m^2$ в левую часть, а 75 – в правую:

$n^2 - m^2 = 75$

Применим формулу разности квадратов:

$(n - m)(n + m) = 75$

Поскольку $n$ и $m$ — натуральные числа, то $(n - m)$ и $(n + m)$ — целые числа.Так как $n \ge 1$ и $m \ge 1$, их сумма $(n + m)$ является натуральным числом, большим или равным 2.Произведение $(n - m)(n + m) = 75$ положительно, и $(n + m)$ положительно, следовательно, $(n - m)$ также должно быть положительным числом. Значит, $(n - m)$ — натуральное число.

Кроме того, поскольку $m > 0$, очевидно, что $n + m > n - m$.

Таким образом, нам нужно найти все пары натуральных чисел, произведение которых равно 75, и первое число в паре меньше второго. Разложим число 75 на множители: $75 = 1 \cdot 75 = 3 \cdot 25 = 5 \cdot 15$.

Получаем три возможные системы уравнений:

1) $\begin{cases} n - m = 1 \\ n + m = 75 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(n - m) + (n + m) = 1 + 75$, что дает $2n = 76$. Отсюда $n = 38$.Подставив $n = 38$ во второе уравнение, получим $38 + m = 75$, откуда $m = 37$.Оба числа, $n=38$ и $m=37$, являются натуральными. Это решение подходит.

2) $\begin{cases} n - m = 3 \\ n + m = 25 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2n = 3 + 25$, что дает $2n = 28$. Отсюда $n = 14$.Подставив $n = 14$ во второе уравнение, получим $14 + m = 25$, откуда $m = 11$.Оба числа, $n=14$ и $m=11$, являются натуральными. Это решение подходит.

3) $\begin{cases} n - m = 5 \\ n + m = 15 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2n = 5 + 15$, что дает $2n = 20$. Отсюда $n = 10$.Подставив $n = 10$ во второе уравнение, получим $10 + m = 15$, откуда $m = 5$.Оба числа, $n=10$ и $m=5$, являются натуральными. Это решение подходит.

Мы рассмотрели все возможные пары множителей числа 75. Таким образом, мы нашли все натуральные значения $n$, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 10, 14, 38.