Номер 445, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 445, страница 107.

445. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2};$

б) $\sqrt{27 - 5\sqrt{8}} + \sqrt{2}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2}$, необходимо упростить подкоренное выражение $11 + 6\sqrt{2}$. Для этого представим его в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Постараемся подобрать такие $a$ и $b$, чтобы $a^2+b^2=11$ и $2ab=6\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=3$ и $b=\sqrt{2}$.
Проверим первое уравнение: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9+2=11$.
Предположение верно, следовательно, $11+6\sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^2$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \sqrt{(3+\sqrt{2})^2} - \sqrt{2}$.
Так как $3+\sqrt{2} > 0$, то $\sqrt{(3+\sqrt{2})^2} = 3+\sqrt{2}$.
Получаем: $(3+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3+\sqrt{2}-\sqrt{2} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{27 - 5\sqrt{8}} + \sqrt{2}$, сначала упростим радикал $\sqrt{8}$.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим это в выражение: $\sqrt{27 - 5(2\sqrt{2})} + \sqrt{2} = \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} + \sqrt{2}$.
Теперь упростим подкоренное выражение $27 - 10\sqrt{2}$, представив его в виде полного квадрата разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы $a^2+b^2=27$ и $2ab=10\sqrt{2}$.
Из второго уравнения $ab = 5\sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.
Проверим первое уравнение: $a^2+b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25+2=27$.
Предположение верно, значит, $27 - 10\sqrt{2} = (5-\sqrt{2})^2$.
Подставим это в наше выражение:
$\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} + \sqrt{2}$.
Так как $5 > \sqrt{2}$ (поскольку $25 > 2$), то $5-\sqrt{2} > 0$, и $\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} = 5-\sqrt{2}$.
Получаем: $(5-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 5-\sqrt{2}+\sqrt{2} = 5$.
Ответ: 5