Страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

349. Вычислите:

а) $3\sqrt{0,16} - 0,1\sqrt{225};$

б) $0,2\sqrt{900} + 1,8\sqrt{\frac{1}{9}};$

в) $0,3\sqrt{1,21} \cdot \sqrt{400};$

г) $5 : \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{0,81}.$

а) $3\sqrt{0,16} - 0,1\sqrt{225}$
Для решения данного выражения необходимо вычислить значения квадратных корней.
Квадратный корень из $0,16$ равен $0,4$, так как $0,4^2 = 0,16$.
Квадратный корень из $225$ равен $15$, так как $15^2 = 225$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$3 \cdot 0,4 - 0,1 \cdot 15$
Выполним умножение:
$1,2 - 1,5$
Выполним вычитание:
$-0,3$
Ответ: -0,3.

б) $0,2\sqrt{900} + 1,8\sqrt{1\frac{1}{9}}$
Сначала вычислим значения подкоренных выражений.
Квадратный корень из $900$ равен $30$, так как $30^2 = 900$.
Для вычисления второго корня преобразуем смешанное число $1\frac{1}{9}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.
Подставим полученные значения в выражение:
$0,2 \cdot 30 + 1,8 \cdot \frac{\sqrt{10}}{3}$
Выполним вычисления:
$6 + \frac{1,8}{3} \cdot \sqrt{10}$
$6 + 0,6\sqrt{10}$
Так как $\sqrt{10}$ является иррациональным числом, выражение не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: $6 + 0,6\sqrt{10}$.

в) $0,3\sqrt{1,21} \cdot \sqrt{400}$
Вычислим значения квадратных корней.
Квадратный корень из $1,21$ равен $1,1$, так как $1,1^2 = 1,21$.
Квадратный корень из $400$ равен $20$, так как $20^2 = 400$.
Подставим значения в выражение:
$0,3 \cdot 1,1 \cdot 20$
Выполним умножение по порядку:
$0,3 \cdot 1,1 = 0,33$
$0,33 \cdot 20 = 6,6$
Ответ: 6,6.

г) $5 : \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{0,81}$
Найдем значения квадратных корней.
$\sqrt{0,25} = 0,5$, так как $0,5^2 = 0,25$.
$\sqrt{0,81} = 0,9$, так как $0,9^2 = 0,81$.
Подставим вычисленные значения в выражение:
$5 : 0,5 \cdot 0,9$
Действия деления и умножения выполняются по порядку слева направо.
Сначала выполним деление:
$5 : 0,5 = 10$
Теперь выполним умножение:
$10 \cdot 0,9 = 9$
Ответ: 9.

351. Сократите дробь:

a) $ \frac{4a^2 - 20a + 25}{25 - 4a^2} $

б) $ \frac{9x^2 + 4y^2 - 12xy}{4y^2 - 9x^2} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2-20a+25}{25-4a^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $4a^2-20a+25$ является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, получаем:

$4a^2-20a+25 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = (2a-5)^2$.

Знаменатель $25-4a^2$ является разностью квадратов. Используя формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем:

$25-4a^2 = 5^2 - (2a)^2 = (5-2a)(5+2a)$.

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(2a-5)^2}{(5-2a)(5+2a)}$

Так как $(5-2a) = -(2a-5)$, преобразуем знаменатель:

$\frac{(2a-5)^2}{-(2a-5)(5+2a)}$

Сократим общий множитель $(2a-5)$ при условии, что $2a-5 \neq 0$ (то есть $a \neq 2.5$):

$\frac{2a-5}{-(5+2a)} = -\frac{2a-5}{2a+5} = \frac{-(2a-5)}{2a+5} = \frac{5-2a}{2a+5}$.

Ответ: $\frac{5-2a}{2a+5}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{9x^2+4y^2-12xy}{4y^2-9x^2}$, сначала преобразуем числитель и знаменатель, разложив их на множители.

Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы получить стандартный вид: $9x^2-12xy+4y^2$. Это выражение является полным квадратом разности. Применяем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$9x^2-12xy+4y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x-2y)^2$.

Знаменатель $4y^2-9x^2$ является разностью квадратов. Применяем формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$4y^2-9x^2 = (2y)^2 - (3x)^2 = (2y-3x)(2y+3x)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(3x-2y)^2}{(2y-3x)(2y+3x)}$

Заметим, что выражения $(3x-2y)$ и $(2y-3x)$ являются противоположными. Воспользуемся свойством $(a-b)^2 = (b-a)^2$, чтобы сделать множители в числителе и знаменателе удобными для сокращения:

$(3x-2y)^2 = (-(2y-3x))^2 = (2y-3x)^2$.

Тогда дробь принимает вид:

$\frac{(2y-3x)^2}{(2y-3x)(2y+3x)}$

Сократим общий множитель $(2y-3x)$ при условии, что $2y-3x \neq 0$:

$\frac{2y-3x}{2y+3x}$.

Ответ: $\frac{2y-3x}{2y+3x}$.

350. Найдите значение выражения $x + |x|$, если $x = 7; 10; 0; -3; -8$.

Упростите выражение $x + |x|$, если:

а) $x \geq 0$;

б) $x < 0$.

Для нахождения значения выражения $x + |x|$ подставим в него поочередно каждое из заданных значений $x$. Мы будем использовать определение модуля числа: $|a| = a$ при $a \ge 0$, и $|a| = -a$ при $a < 0$.

При $x = 7$: $x + |x| = 7 + |7| = 7 + 7 = 14$.
Ответ: 14.

При $x = 10$: $x + |x| = 10 + |10| = 10 + 10 = 20$.
Ответ: 20.

При $x = 0$: $x + |x| = 0 + |0| = 0 + 0 = 0$.
Ответ: 0.

При $x = -3$: $x + |x| = -3 + |-3| = -3 + 3 = 0$.
Ответ: 0.

При $x = -8$: $x + |x| = -8 + |-8| = -8 + 8 = 0$.
Ответ: 0.

Далее упростим выражение $x+|x|$ для двух случаев.

а) Если $x \ge 0$, то по определению модуль неотрицательного числа равен самому числу, то есть $|x| = x$. Подставим это в выражение:
$x + |x| = x + x = 2x$.
Ответ: $2x$.

б) Если $x < 0$, то по определению модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, то есть $|x| = -x$. Подставим это в выражение:
$x + |x| = x + (-x) = x - x = 0$.
Ответ: 0.