Страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

337. Найдите цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной записи иррационального числа $\sqrt{6}$.

Для того чтобы найти цифры в разрядах единиц, десятых и сотых числа $\sqrt{6}$, мы будем последовательно уточнять его значение.

Цифра разряда единиц

Сначала найдем целую часть числа $\sqrt{6}$. Для этого подберем два последовательных целых числа, между квадратами которых находится число 6.

Рассмотрим квадраты целых чисел: $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$.

Так как $4 < 6 < 9$, то мы можем записать неравенство $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$.

Отсюда следует, что $2 < \sqrt{6} < 3$.

Это означает, что целая часть числа $\sqrt{6}$ равна 2, и, следовательно, цифра в разряде единиц — это 2.

Ответ: 2.

Цифра разряда десятых

Теперь найдем первую цифру после запятой. Мы уже знаем, что $2 < \sqrt{6} < 3$. Будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби с шагом 0,1, начиная с 2,1, чтобы найти, между какими из них находится $\sqrt{6}$.

$(2,1)^2 = 4,41$
$(2,2)^2 = 4,84$
$(2,3)^2 = 5,29$
$(2,4)^2 = 5,76$
$(2,5)^2 = 6,25$

Мы видим, что $5,76 < 6 < 6,25$. Это соответствует неравенству $(2,4)^2 < 6 < (2,5)^2$.

Следовательно, $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$.

Таким образом, цифра в разряде десятых равна 4.

Ответ: 4.

Цифра разряда сотых

Теперь найдем вторую цифру после запятой. Нам известно, что $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Будем возводить в квадрат десятичные дроби с шагом 0,01, начиная с 2,41.

$(2,41)^2 = 5,8081$
$(2,42)^2 = 5,8564$
$(2,43)^2 = 5,9049$
$(2,44)^2 = 5,9536$
$(2,45)^2 = 6,0025$

Из вычислений видно, что $5,9536 < 6 < 6,0025$. Это соответствует неравенству $(2,44)^2 < 6 < (2,45)^2$.

Следовательно, $2,44 < \sqrt{6} < 2,45$.

Таким образом, цифра в разряде сотых равна 4.

Ответ: 4.

339. Верно ли утверждение:

а) число $ \sqrt{5} $ больше 2;

б) число $ \sqrt{7} $ меньше 2;

в) число $ \sqrt{170} $ меньше 13;

г) число $ \sqrt{39} $ больше числа $ \sqrt{38} $?

а) число $\sqrt{5}$ больше 2;

Для проверки этого утверждения сравним квадраты чисел $\sqrt{5}$ и 2. Поскольку оба числа положительны, соотношение между ними будет таким же, как и соотношение между их квадратами.
Возведем в квадрат:
$(\sqrt{5})^2 = 5$
$2^2 = 4$
Так как $5 > 4$, то и $\sqrt{5} > 2$. Утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) число $\sqrt{7}$ меньше 2;

Сравним квадраты чисел $\sqrt{7}$ и 2.
Возведем в квадрат:
$(\sqrt{7})^2 = 7$
$2^2 = 4$
Поскольку $7 > 4$, то $\sqrt{7} > 2$. Утверждение, что $\sqrt{7}$ меньше 2, неверно.

Ответ: нет, неверно.

в) число $\sqrt{170}$ меньше 13;

Сравним квадраты чисел $\sqrt{170}$ и 13.
Возведем в квадрат:
$(\sqrt{170})^2 = 170$
$13^2 = 169$
Так как $170 > 169$, то и $\sqrt{170} > 13$. Утверждение, что $\sqrt{170}$ меньше 13, неверно.

Ответ: нет, неверно.

г) число $\sqrt{39}$ больше числа $\sqrt{38}$?

Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что большему значению аргумента (подкоренного выражения) соответствует большее значение функции (корня).
Сравним подкоренные выражения: $39$ и $38$.
Так как $39 > 38$, то и $\sqrt{39} > \sqrt{38}$. Утверждение верно.

Ответ: да, верно.

336. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:

a) $\sqrt{27}$;

б) $\sqrt{40}$;

в) $\sqrt{120}$;

г) $\sqrt{9,2}$;

д) $\sqrt{0,4}$;

е) $\sqrt{15}$;

ж) $\sqrt{167}$;

з) $\sqrt{288}$.

а) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt{27}$, нужно найти целое число $n$ такое, что $n < \sqrt{27} < n+1$. Это неравенство равносильно неравенству $n^2 < 27 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел:
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
Поскольку $25 < 27 < 36$, то выполняется неравенство $5^2 < 27 < 6^2$.
Извлекая квадратный корень из всех частей, получаем $5 < \sqrt{27} < 6$.
Следовательно, число $\sqrt{27}$ заключено между целыми числами 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.

б) Для числа $\sqrt{40}$ ищем целое число $n$, для которого $n^2 < 40 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты чисел:
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$
Так как $36 < 40 < 49$, то $6 < \sqrt{40} < 7$.
Искомые числа – 6 и 7.
Ответ: 6 и 7.

в) Для числа $\sqrt{120}$ ищем целое число $n$, для которого $n^2 < 120 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты чисел:
$10^2 = 100$
$11^2 = 121$
Так как $100 < 120 < 121$, то $10 < \sqrt{120} < 11$.
Искомые числа – 10 и 11.
Ответ: 10 и 11.

г) Для числа $\sqrt{9,2}$ ищем целое число $n$, для которого $n^2 < 9,2 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты чисел:
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$
Так как $9 < 9,2 < 16$, то $3 < \sqrt{9,2} < 4$.
Искомые числа – 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

д) Для числа $\sqrt{0,4}$ ищем целое число $n$, для которого $n^2 < 0,4 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты чисел:
$0^2 = 0$
$1^2 = 1$
Так как $0 < 0,4 < 1$, то $0 < \sqrt{0,4} < 1$.
Искомые числа – 0 и 1.
Ответ: 0 и 1.

е) Для числа $\sqrt{15}$ ищем целое число $n$, для которого $n^2 < 15 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты чисел:
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$
Так как $9 < 15 < 16$, то $3 < \sqrt{15} < 4$.
Искомые числа – 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

ж) Для числа $\sqrt{167}$ ищем целое число $n$, для которого $n^2 < 167 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты чисел:
$12^2 = 144$
$13^2 = 169$
Так как $144 < 167 < 169$, то $12 < \sqrt{167} < 13$.
Искомые числа – 12 и 13.
Ответ: 12 и 13.

з) Для числа $\sqrt{288}$ ищем целое число $n$, для которого $n^2 < 288 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты чисел:
$16^2 = 256$
$17^2 = 289$
Так как $256 < 288 < 289$, то $16 < \sqrt{288} < 17$.
Искомые числа – 16 и 17.
Ответ: 16 и 17.

338. С помощью калькулятора вычислите значение выражения:

a) $\sqrt{x}$ при $x = 16; 0,25; 3; 245; 0,37;$

б) $\sqrt{x+4}$ при $x = 8,5; 14,1; 0,2549.$

а)

Вычислим значение выражения $\sqrt{x}$ для каждого из заданных значений $x$, используя калькулятор. Для иррациональных результатов будем использовать округление до тысячных.

Если $x = 16$, то $\sqrt{x} = \sqrt{16} = 4$.

Если $x = 0,25$, то $\sqrt{x} = \sqrt{0,25} = 0,5$.

Если $x = 3$, то $\sqrt{x} = \sqrt{3} \approx 1,732$.

Если $x = 245$, то $\sqrt{x} = \sqrt{245} \approx 15,652$.

Если $x = 0,37$, то $\sqrt{x} = \sqrt{0,37} \approx 0,608$.

Ответ: 4; 0,5; $\approx 1,732$; $\approx 15,652$; $\approx 0,608$.

б)

Вычислим значение выражения $\sqrt{x+4}$ для каждого из заданных значений $x$. Сначала выполним сложение под корнем, а затем извлечем корень с помощью калькулятора, округляя результат до тысячных.

Если $x = 8,5$, то $\sqrt{x+4} = \sqrt{8,5+4} = \sqrt{12,5} \approx 3,536$.

Если $x = 14,1$, то $\sqrt{x+4} = \sqrt{14,1+4} = \sqrt{18,1} \approx 4,254$.

Если $x = 0,2549$, то $\sqrt{x+4} = \sqrt{0,2549+4} = \sqrt{4,2549} \approx 2,063$.

Ответ: $\approx 3,536$; $\approx 4,254$; $\approx 2,063$.