Номер 351, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Нахождение приближённых значений квадратного корня. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 351, страница 84.

351. Сократите дробь:

a) $ \frac{4a^2 - 20a + 25}{25 - 4a^2} $

б) $ \frac{9x^2 + 4y^2 - 12xy}{4y^2 - 9x^2} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2-20a+25}{25-4a^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $4a^2-20a+25$ является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, получаем:

$4a^2-20a+25 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = (2a-5)^2$.

Знаменатель $25-4a^2$ является разностью квадратов. Используя формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем:

$25-4a^2 = 5^2 - (2a)^2 = (5-2a)(5+2a)$.

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(2a-5)^2}{(5-2a)(5+2a)}$

Так как $(5-2a) = -(2a-5)$, преобразуем знаменатель:

$\frac{(2a-5)^2}{-(2a-5)(5+2a)}$

Сократим общий множитель $(2a-5)$ при условии, что $2a-5 \neq 0$ (то есть $a \neq 2.5$):

$\frac{2a-5}{-(5+2a)} = -\frac{2a-5}{2a+5} = \frac{-(2a-5)}{2a+5} = \frac{5-2a}{2a+5}$.

Ответ: $\frac{5-2a}{2a+5}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{9x^2+4y^2-12xy}{4y^2-9x^2}$, сначала преобразуем числитель и знаменатель, разложив их на множители.

Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы получить стандартный вид: $9x^2-12xy+4y^2$. Это выражение является полным квадратом разности. Применяем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$9x^2-12xy+4y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x-2y)^2$.

Знаменатель $4y^2-9x^2$ является разностью квадратов. Применяем формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$4y^2-9x^2 = (2y)^2 - (3x)^2 = (2y-3x)(2y+3x)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(3x-2y)^2}{(2y-3x)(2y+3x)}$

Заметим, что выражения $(3x-2y)$ и $(2y-3x)$ являются противоположными. Воспользуемся свойством $(a-b)^2 = (b-a)^2$, чтобы сделать множители в числителе и знаменателе удобными для сокращения:

$(3x-2y)^2 = (-(2y-3x))^2 = (2y-3x)^2$.

Тогда дробь принимает вид:

$\frac{(2y-3x)^2}{(2y-3x)(2y+3x)}$

Сократим общий множитель $(2y-3x)$ при условии, что $2y-3x \neq 0$:

$\frac{2y-3x}{2y+3x}$.

Ответ: $\frac{2y-3x}{2y+3x}$.