Номер 316, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 316, страница 77.

316. Найдите корни уравнения:

а) $\sqrt{12+x-7}=3$;

б) $\sqrt{5x-1-4}=6$;

в) $16-\sqrt{x-2}=7$;

г) $12-\sqrt{3-6x}=-2$.

а) $\sqrt{12+x}-7=3$

Чтобы решить это иррациональное уравнение, сначала изолируем радикал (квадратный корень) в одной части уравнения. Для этого перенесем -7 в правую часть с противоположным знаком:

$\sqrt{12+x} = 3+7$

$\sqrt{12+x} = 10$

Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат. Перед этим определим область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под корнем не может быть отрицательным:

$12+x \ge 0 \implies x \ge -12$

Возводим в квадрат:

$(\sqrt{12+x})^2 = 10^2$

$12+x = 100$

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 100 - 12$

$x = 88$

Проверяем, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $88 \ge -12$, корень подходит. Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение:

$\sqrt{12+88}-7 = \sqrt{100}-7 = 10-7=3$.

$3=3$. Равенство верное.

Ответ: $88$.

б) $\sqrt{5x-1}-4=6$

Изолируем радикал, перенеся -4 в правую часть:

$\sqrt{5x-1} = 6+4$

$\sqrt{5x-1} = 10$

Определим ОДЗ:

$5x-1 \ge 0 \implies 5x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x-1})^2 = 10^2$

$5x-1 = 100$

Решаем линейное уравнение:

$5x = 101$

$x = \frac{101}{5}$

$x = 20.2$

Проверяем ОДЗ: $20.2 \ge \frac{1}{5}$ ($20.2 \ge 0.2$). Корень подходит. Проверка:

$\sqrt{5 \cdot 20.2 - 1} - 4 = \sqrt{101-1} - 4 = \sqrt{100} - 4 = 10-4=6$.

$6=6$. Равенство верное.

Ответ: $20.2$.

в) $16-\sqrt{x-2}=7$

Изолируем радикал. Удобнее перенести радикал в правую часть, а число 7 — в левую:

$16 - 7 = \sqrt{x-2}$

$\sqrt{x-2} = 9$

Определим ОДЗ:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x-2})^2 = 9^2$

$x-2 = 81$

Найдем $x$:

$x = 81+2$

$x = 83$

Проверяем ОДЗ: $83 \ge 2$. Корень подходит. Проверка:

$16-\sqrt{83-2} = 16-\sqrt{81} = 16-9=7$.

$7=7$. Равенство верное.

Ответ: $83$.

г) $12-\sqrt{3-6x}=-2$

Изолируем радикал, перенеся его в правую часть, а -2 — в левую:

$12 - (-2) = \sqrt{3-6x}$

$12 + 2 = \sqrt{3-6x}$

$\sqrt{3-6x} = 14$

Определим ОДЗ:

$3-6x \ge 0 \implies 3 \ge 6x \implies \frac{3}{6} \ge x \implies x \le 0.5$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3-6x})^2 = 14^2$

$3-6x = 196$

Решаем линейное уравнение:

$-6x = 196-3$

$-6x = 193$

$x = -\frac{193}{6}$

Проверяем ОДЗ: $-\frac{193}{6} \approx -32.17$, что очевидно меньше $0.5$. Корень подходит. Проверка:

$12 - \sqrt{3-6(-\frac{193}{6})} = 12 - \sqrt{3+193} = 12 - \sqrt{196} = 12 - 14 = -2$.

$-2=-2$. Равенство верное.

Ответ: $-\frac{193}{6}$.