Номер 321, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Уравнение х^2=а. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 321, страница 79.

321. Решите уравнение и с помощью графика функции $y = x^2$ найдите приближённые значения его корней:

а) $x^2 = 3;$

б) $x^2 = 5;$

в) $x^2 = 4,5;$

г) $x^2 = 8,5.$

Для решения уравнений вида $x^2 = c$ (где $c > 0$) и нахождения их приближенных значений, мы будем использовать графический метод. Для этого построим в одной системе координат график функции (параболу) $y = x^2$ и график функции (горизонтальную прямую) $y = c$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих двух графиков и будут являться корнями исходного уравнения.

Сначала решим уравнения аналитически, чтобы найти точные значения корней, а затем найдем их приближенные значения с помощью графика.

а) $x^2 = 3$

Аналитическое решение:
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два корня:
$x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Графическое решение:
Строим параболу $y=x^2$ и прямую $y=3$. Находим точки их пересечения. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось Ox, мы можем оценить значения корней. Мы видим, что $1^2=1$ и $2^2=4$. Так как $3$ находится между $1$ и $4$, то корни будут лежать между $1$ и $2$ (и между $-1$ и $-2$). Проверим значение $x=1,7$: $1,7^2=2,89$. Это очень близко к $3$. Проверим $x=1,8$: $1,8^2=3,24$. Таким образом, приближенное значение корней с точностью до десятых составляет $\pm1,7$.
Ответ: $x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$; приближенные значения $x_1 \approx 1,7$, $x_2 \approx -1,7$.

б) $x^2 = 5$

Аналитическое решение:
$x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Графическое решение:
Строим параболу $y=x^2$ и прямую $y=5$. Находим абсциссы точек их пересечения. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $5$ находится между $4$ и $9$, корни будут лежать между $2$ и $3$ (и между $-2$ и $-3$). Проверим значение $x=2,2$: $2,2^2=4,84$. Проверим $x=2,3$: $2,3^2=5,29$. Значение $5$ находится между $4,84$ и $5,29$, но ближе к $4,84$. Таким образом, приближенное значение корней составляет $\pm2,2$.
Ответ: $x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$; приближенные значения $x_1 \approx 2,2$, $x_2 \approx -2,2$.

в) $x^2 = 4,5$

Аналитическое решение:
$x_1 = \sqrt{4,5}$ и $x_2 = -\sqrt{4,5}$.

Графическое решение:
Строим параболу $y=x^2$ и прямую $y=4,5$. Находим абсциссы точек их пересечения. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $4,5$ находится между $4$ и $9$, корни будут лежать между $2$ и $3$ (и между $-2$ и $-3$). Проверим значение $x=2,1$: $2,1^2=4,41$. Проверим $x=2,2$: $2,2^2=4,84$. Значение $4,5$ очень близко к $4,41$. Следовательно, приближенное значение корней составляет $\pm2,1$.
Ответ: $x_{1,2} = \pm\sqrt{4,5}$; приближенные значения $x_1 \approx 2,1$, $x_2 \approx -2,1$.

г) $x^2 = 8,5$

Аналитическое решение:
$x_1 = \sqrt{8,5}$ и $x_2 = -\sqrt{8,5}$.

Графическое решение:
Строим параболу $y=x^2$ и прямую $y=8,5$. Находим абсциссы точек их пересечения. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $8,5$ находится между $4$ и $9$ и очень близко к $9$, корни будут близки к $\pm3$. Проверим значение $x=2,9$: $2,9^2=8,41$. Это очень близко к $8,5$. Таким образом, приближенное значение корней составляет $\pm2,9$.
Ответ: $x_{1,2} = \pm\sqrt{8,5}$; приближенные значения $x_1 \approx 2,9$, $x_2 \approx -2,9$.