Номер 323, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Уравнение х^2=а. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 323, страница 79.

323. Найдите корни уравнения:

а) $16 + x^2 = 0;$

б) $0,3x^2 = 0,027;$

в) $0,5x^2 = 30;$

г) $-5x^2 = \frac{1}{20};$

д) $x^3 - 3x = 0;$

е) $x^3 - 11x = 0.$

а) $16 + x^2 = 0$

Для решения данного уравнения перенесем свободный член (16) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x^2 = -16$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку в правой части уравнения стоит отрицательное число (-16), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: корней нет.

б) $0,3x^2 = 0,027$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на коэффициент при нем, то есть на 0,3:
$x^2 = \frac{0,027}{0,3}$
Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков: $\frac{0,027 \cdot 1000}{0,3 \cdot 1000} = \frac{27}{300}$. Сократим дробь на 3: $\frac{9}{100}$.
Либо можно поделить столбиком или в уме: $0,027 : 0,3 = 0,27 : 3 = 0,09$.
Получаем уравнение:
$x^2 = 0,09$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.
$x = \pm\sqrt{0,09}$
$x_1 = 0,3$, $x_2 = -0,3$
Ответ: -0,3; 0,3.

в) $0,5x^2 = 30$

Разделим обе части уравнения на 0,5. Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2.
$x^2 = \frac{30}{0,5}$
$x^2 = 60$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{60}$
Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители: $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$.
Таким образом, корни уравнения:
$x_1 = 2\sqrt{15}$, $x_2 = -2\sqrt{15}$
Ответ: $-2\sqrt{15}; 2\sqrt{15}$.

г) $-5x^2 = \frac{1}{20}$

Разделим обе части уравнения на -5:
$x^2 = \frac{1}{20 \cdot (-5)}$
$x^2 = -\frac{1}{100}$
Как и в пункте а), квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Так как правая часть уравнения отрицательна, оно не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

д) $x^3 - 3x = 0$

Это неполное кубическое уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни.
1) Первый корень: $x_1 = 0$.
2) Второй множитель: $x^2 - 3 = 0$.
Решим это уравнение:
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$
Таким образом, получаем еще два корня: $x_2 = \sqrt{3}$ и $x_3 = -\sqrt{3}$.
Всего уравнение имеет три корня.
Ответ: $-\sqrt{3}; 0; \sqrt{3}$.

е) $x^3 - 11x = 0$

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 11) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) Первый корень: $x_1 = 0$.
2) Второй множитель: $x^2 - 11 = 0$.
Решим это уравнение:
$x^2 = 11$
$x = \pm\sqrt{11}$
Получаем еще два корня: $x_2 = \sqrt{11}$ и $x_3 = -\sqrt{11}$.
Всего уравнение имеет три корня.
Ответ: $-\sqrt{11}; 0; \sqrt{11}$.