Номер 314, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 314, страница 77.

314. Найдите значение переменной x, при котором верно равенство:

a) $\sqrt{3+5x}=7;$

б) $\sqrt{10x-14}=11;$

в) $\sqrt{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}}=0.$

а) Дано уравнение $\sqrt{3+5x} = 7$.
Для решения этого иррационального уравнения необходимо возвести обе его части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным.
ОДЗ: $3+5x \ge 0$
$5x \ge -3$
$x \ge -\frac{3}{5}$ или $x \ge -0.6$
Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3+5x})^2 = 7^2$
$3+5x = 49$
Далее решаем полученное линейное уравнение:
$5x = 49 - 3$
$5x = 46$
$x = \frac{46}{5}$
$x = 9.2$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $9.2 \ge -0.6$, условие выполняется, следовательно, корень найден верно.
Ответ: $9.2$.

б) Дано уравнение $\sqrt{10x-14} = 11$.
Действуем аналогично предыдущему пункту. Найдем ОДЗ:
ОДЗ: $10x-14 \ge 0$
$10x \ge 14$
$x \ge \frac{14}{10}$ или $x \ge 1.4$
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{10x-14})^2 = 11^2$
$10x-14 = 121$
Решаем полученное линейное уравнение:
$10x = 121 + 14$
$10x = 135$
$x = \frac{135}{10}$
$x = 13.5$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $13.5 \ge 1.4$, условие выполняется, корень является верным.
Ответ: $13.5$.

в) Дано уравнение $\sqrt{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}} = 0$.
Квадратный корень из выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само это выражение равно нулю. Поэтому можно сразу приравнять подкоренное выражение к нулю. Также убедимся, что решение входит в ОДЗ.
ОДЗ: $\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} \ge 0$
$\frac{1}{3}x \ge \frac{1}{2}$
$x \ge \frac{1}{2} \cdot 3$
$x \ge \frac{3}{2}$ или $x \ge 1.5$
Приравниваем подкоренное выражение к нулю:
$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} = 0$
$\frac{1}{3}x = \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{1}{2} \cdot 3$
$x = \frac{3}{2}$
$x = 1.5$
Найденный корень $x=1.5$ удовлетворяет условию ОДЗ ($1.5 \ge 1.5$), значит, это верное решение.
Ответ: $1.5$.