Номер 258, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 258, страница 59.

258. Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 16}{|x - 4|};$

б) $y = \frac{x^2 - 25}{5 + |x|}.$

а) $y = \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$|x - 4| \neq 0$, что означает $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = 4$. В этой точке на графике будет разрыв.

2. Упростим выражение функции. Числитель $x^2 - 16$ является разностью квадратов и раскладывается на множители:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
Подставим это в исходное уравнение: $y = \frac{(x - 4)(x + 4)}{|x - 4|}$.

3. Раскроем модуль в знаменателе, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: Если $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
В этом случае $|x - 4| = x - 4$.
Функция принимает вид: $y = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$.
Это уравнение прямой. Таким образом, при $x > 4$ график функции является лучом прямой $y = x + 4$.

Случай 2: Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
В этом случае $|x - 4| = -(x - 4)$.
Функция принимает вид: $y = \frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)} = -(x + 4) = -x - 4$.
Это также уравнение прямой. Таким образом, при $x < 4$ график функции является лучом прямой $y = -x - 4$.

4. Итоговый график состоит из двух лучей. Так как точка $x=4$ не входит в ОДЗ, на концах лучей будут выколотые точки.
- Для луча $y = x + 4$ ($x > 4$) найдем координаты выколотой точки, подставив $x = 4$: $y = 4 + 4 = 8$. Координаты точки: $(4, 8)$.
- Для луча $y = -x - 4$ ($x < 4$) найдем координаты выколотой точки, подставив $x = 4$: $y = -4 - 4 = -8$. Координаты точки: $(4, -8)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей: луча прямой $y = x+4$ для $x > 4$, начинающегося в выколотой точке $(4, 8)$, и луча прямой $y = -x-4$ для $x < 4$, начинающегося в выколотой точке $(4, -8)$.

б) $y = \frac{x^2 - 25}{5 + |x|}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби равен $5 + |x|$.
Поскольку по определению модуля $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то знаменатель $5 + |x| \ge 5$.
Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль, и функция определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Упростим выражение функции. Воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$. Тогда числитель можно представить в виде $|x|^2 - 25$ и разложить на множители как разность квадратов:
$y = \frac{|x|^2 - 25}{5 + |x|} = \frac{(|x| - 5)(|x| + 5)}{5 + |x|}$.

3. Так как выражение $5 + |x|$ в знаменателе всегда положительно, мы можем сократить на него дробь:
$y = |x| - 5$.

4. График функции $y = |x| - 5$ получается из графика функции $y = |x|$ путем сдвига на 5 единиц вниз вдоль оси ординат (Oy).
График $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат $(0, 0)$.
Соответственно, график функции $y = |x| - 5$ — это такая же "галочка", но с вершиной в точке $(0, -5)$.
Он состоит из двух лучей, выходящих из этой точки: - луч $y = x - 5$ при $x \ge 0$; - луч $y = -x - 5$ при $x < 0$.

Ответ: График функции представляет собой график функции $y = |x| - 5$. Это объединение двух лучей: $y = x - 5$ при $x \ge 0$ и $y = -x - 5$ при $x < 0$, которые соединяются в точке $(0, -5)$, являющейся вершиной графика.