Номер 256, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 256, страница 59.

256. Найдите область определения функции и постройте её график:

а) $y = \frac{36}{(x+1)^2 - (x-1)^2}$;

б) $y = \frac{18-12x}{x^2-3x} - \frac{6}{3-x}$;

в) $y = \frac{16}{(2-x)^2 - (2+x)^2}$;

г) $y = \frac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}$.

а)

Дана функция $y = \frac{36}{(x+1)^2 - (x-1)^2}$.

1. Нахождение области определения.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю:

$(x+1)^2 - (x-1)^2 \neq 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((x+1) - (x-1)) \cdot ((x+1) + (x-1)) \neq 0$

$(x+1-x+1) \cdot (x+1+x-1) \neq 0$

$2 \cdot 2x \neq 0$

$4x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Упростим выражение для функции, используя преобразование знаменателя, полученное выше:

$y = \frac{36}{4x} = \frac{9}{x}$.

График функции $y = \frac{9}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k=9$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$. Область определения исходной функции совпадает с естественной областью определения упрощенной функции.

Несколько точек для построения графика:
Если $x=1$, то $y=9$.
Если $x=3$, то $y=3$.
Если $x=9$, то $y=1$.
Если $x=-1$, то $y=-9$.
Если $x=-3$, то $y=-3$.
Если $x=-9$, то $y=-1$.

График представляет собой гиперболу, симметричную относительно начала координат, проходящую через указанные точки.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{9}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях; асимптоты — оси координат.

б)

Дана функция $y = \frac{18 - 12x}{x^2 - 3x} - \frac{6}{3 - x}$.

1. Нахождение области определения.

Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x^2 - 3x \neq 0 \implies x(x-3) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 3$.

$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Объединяя условия, получаем, что область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Преобразуем выражение, приводя дроби к общему знаменателю:

$y = \frac{18 - 12x}{x(x - 3)} - \frac{6}{-(x - 3)} = \frac{18 - 12x}{x(x - 3)} + \frac{6}{x - 3}$

$y = \frac{18 - 12x + 6x}{x(x - 3)} = \frac{18 - 6x}{x(x - 3)}$

Вынесем в числителе общий множитель -6 и сократим дробь:

$y = \frac{-6(x - 3)}{x(x - 3)} = -\frac{6}{x}$ (при условии, что $x \neq 3$).

График исходной функции совпадает с графиком гиперболы $y = -\frac{6}{x}$, за исключением точки, абсцисса которой $x=3$ (из ОДЗ). Это "выколотая" точка.

Найдем ординату выколотой точки, подставив $x=3$ в упрощенную функцию: $y = -\frac{6}{3} = -2$.

Таким образом, выколотая точка имеет координаты $(3, -2)$.

График функции $y = -\frac{6}{x}$ — гипербола. Так как $k=-6 < 0$, ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.

График представляет собой гиперболу с асимптотами $x=0, y=0$, расположенную во II и IV четвертях, с выколотой точкой $(3, -2)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции — гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(3, -2)$.

в)

Дана функция $y = \frac{16}{(2-x)^2 - (2+x)^2}$.

1. Нахождение области определения.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$(2-x)^2 - (2+x)^2 \neq 0$

Используем формулу разности квадратов:

$((2-x) - (2+x)) \cdot ((2-x) + (2+x)) \neq 0$

$(2-x-2-x) \cdot (2-x+2+x) \neq 0$

$(-2x) \cdot 4 \neq 0$

$-8x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Упростим знаменатель: $(2-x)^2 - (2+x)^2 = -8x$.

Функция принимает вид: $y = \frac{16}{-8x} = -\frac{2}{x}$.

График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=-2 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ и $y=0$. Область определения исходной функции совпадает с областью определения упрощенной.

Несколько точек для построения графика:
Если $x=1$, то $y=-2$.
Если $x=2$, то $y=-1$.
Если $x=-1$, то $y=2$.
Если $x=-2$, то $y=1$.

График представляет собой гиперболу, симметричную относительно начала координат, проходящую через указанные точки.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = -\frac{2}{x}$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях; асимптоты — оси координат.

г)

Дана функция $y = \frac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}$.

1. Нахождение области определения.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x(x+5) \neq 0$.

Это означает, что $x \neq 0$ и $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Упростим числитель:

$3x(x+1) - 3x^2 + 15 = 3x^2 + 3x - 3x^2 + 15 = 3x + 15$.

Подставим упрощенный числитель в функцию:

$y = \frac{3x + 15}{x(x+5)} = \frac{3(x + 5)}{x(x+5)}$.

Так как по ОДЗ $x \neq -5$, мы можем сократить дробь на $(x+5)$:

$y = \frac{3}{x}$.

График исходной функции — это гипербола $y = \frac{3}{x}$ с "выколотой" точкой при $x=-5$.

Найдём координаты выколотой точки, подставив $x=-5$ в упрощенную функцию: $y = \frac{3}{-5} = -0.6$.

Координаты выколотой точки: $(-5, -0.6)$.

График функции $y = \frac{3}{x}$ — гипербола. Так как $k=3 > 0$, ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.

График представляет собой гиперболу с асимптотами $x=0, y=0$, расположенную в I и III четвертях, с выколотой точкой $(-5, -0.6)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(-5, -0.6)$.