Номер 247, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 247, страница 58.

247. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных

значение выражения

$\frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} + \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b}$

не зависит от $a$ и $b$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных a и b, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения получится число, то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$$ \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} + \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $$

Упростим выражение по частям, начав с первой дроби.

1. Преобразуем числитель первой дроби: $ \frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2 $.
Приведем коэффициенты к общему знаменателю 6 и вынесем $ \frac{1}{6} $ за скобки:

$$ \frac{9a^2 - 12ab + 4b^2}{6} = \frac{1}{6}(9a^2 - 12ab + 4b^2) $$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $ (3a - 2b)^2 $. Таким образом, числитель равен:

$$ \frac{1}{6}(3a - 2b)^2 $$

2. Преобразуем знаменатель первой дроби: $ \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2 $.
Это формула разности квадратов $ (\frac{1}{2}a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2 $. Разложим ее на множители:

$$ (\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b) $$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$$ (\frac{3a - 2b}{6})(\frac{3a + 2b}{6}) = \frac{(3a - 2b)(3a + 2b)}{36} $$

3. Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель (выполним действие в первой дроби):

$$ \frac{\frac{1}{6}(3a - 2b)^2}{\frac{(3a - 2b)(3a + 2b)}{36}} = \frac{(3a - 2b)^2}{6} \cdot \frac{36}{(3a - 2b)(3a + 2b)} $$

Сократим дробь на общий множитель $ (3a - 2b) $ (это возможно, так как рассматриваются допустимые значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю) и на 6:

$$ \frac{(3a - 2b) \cdot 6}{3a + 2b} = \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} $$

4. Упростим вторую дробь: $ \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $.

Преобразуем ее знаменатель, приведя слагаемые к общему знаменателю 4:

$$ \frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b = \frac{3a + 2b}{4} $$

Подставим это в дробь:

$$ \frac{6b}{\frac{3a + 2b}{4}} = 6b \cdot \frac{4}{3a + 2b} = \frac{24b}{3a + 2b} $$

5. Теперь сложим упрощенные дроби:

$$ \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} + \frac{24b}{3a + 2b} $$

Так как знаменатели у дробей одинаковы, сложим их числители:

$$ \frac{6(3a - 2b) + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a - 12b + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a + 12b}{3a + 2b} $$

Вынесем в числителе общий множитель 6 за скобки:

$$ \frac{6(3a + 2b)}{3a + 2b} $$

Сократив дробь на $ (3a + 2b) $, получаем:

$$ 6 $$

Мы получили числовое значение, которое не зависит от переменных a и b. Таким образом, доказано, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения постоянно и равно 6.

Ответ: 6