Номер 243, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 243, страница 57.

243. Упростите выражение:

а) $ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b}{a-b} - a - b \right);$

б) $\left( \frac{y^2 - xy}{x^2 + xy} - xy + y^2 \right) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y};$

в) $\left( \frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{4a^2-b^2} + \frac{1}{(2a+b)^2} \right) \cdot \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a};$

г) $\frac{4c^2}{(c-2)^4} : \left( \frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{c^2-4} \right).$

а) $ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b}{a-b} - a - b \right)$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки, предварительно сгруппировав $-a-b = -(a+b)$.

$\frac{a+b}{a-b} - a - b = \frac{a+b}{a-b} - (a+b) = (a+b) \left( \frac{1}{a-b} - 1 \right)$

2. Приведем выражение в новых скобках к общему знаменателю.

$(a+b) \left( \frac{1 - (a-b)}{a-b} \right) = (a+b) \frac{1-a+b}{a-b}$

3. Подставим упрощенное выражение обратно в исходное.

$ab + \frac{ab}{a+b} \cdot (a+b) \frac{1-a+b}{a-b}$

4. Сократим $(a+b)$.

$ab + ab \cdot \frac{1-a+b}{a-b}$

5. Вынесем $ab$ за скобки.

$ab \left( 1 + \frac{1-a+b}{a-b} \right)$

6. Приведем к общему знаменателю выражение в скобках.

$ab \left( \frac{a-b}{a-b} + \frac{1-a+b}{a-b} \right) = ab \left( \frac{a-b+1-a+b}{a-b} \right) = ab \left( \frac{1}{a-b} \right) = \frac{ab}{a-b}$

Ответ: $\frac{ab}{a-b}$

б) $\left( \frac{y^2-xy}{x^2+xy} - xy + y^2 \right) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y}$

1. Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\frac{x}{x-y}$.

$\frac{y^2-xy}{x^2+xy} \cdot \frac{x}{x-y} + (-xy+y^2) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y}$

2. Упростим первое произведение. Разложим числители и знаменатели на множители.

$\frac{y(y-x)}{x(x+y)} \cdot \frac{x}{x-y} = \frac{-y(x-y)}{x(x+y)} \cdot \frac{x}{x-y}$

Сокращаем $x$ и $(x-y)$:

$\frac{-y}{x+y}$

3. Упростим второе произведение. Вынесем $-y$ за скобки.

$(-xy+y^2) \cdot \frac{x}{x-y} = -y(x-y) \cdot \frac{x}{x-y}$

Сокращаем $(x-y)$:

$-yx = -xy$

4. Подставим упрощенные части обратно в выражение.

$\frac{-y}{x+y} - xy + \frac{y}{x+y}$

5. Сгруппируем дроби. Они взаимно уничтожаются.

$\left(\frac{-y}{x+y} + \frac{y}{x+y}\right) - xy = 0 - xy = -xy$

Ответ: $-xy$

в) $\left( \frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{4a^2-b^2} + \frac{1}{(2a+b)^2} \right) \cdot \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}$

1. Рассмотрим выражение в первых скобках. Заметим, что $4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$.

$\frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{(2a-b)(2a+b)} + \frac{1}{(2a+b)^2}$

Это выражение является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = \frac{1}{2a-b}$ и $y = \frac{1}{2a+b}$.

$\left( \frac{1}{2a-b} + \frac{1}{2a+b} \right)^2$

2. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю.

$\frac{1}{2a-b} + \frac{1}{2a+b} = \frac{(2a+b)+(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{4a}{4a^2-b^2}$

3. Возведем результат в квадрат.

$\left( \frac{4a}{4a^2-b^2} \right)^2 = \frac{16a^2}{(4a^2-b^2)^2}$

4. Теперь рассмотрим второй множитель. Числитель $4a^2+4ab+b^2$ является полным квадратом $(2a+b)^2$.

$\frac{4a^2+4ab+b^2}{16a} = \frac{(2a+b)^2}{16a}$

5. Перемножим полученные выражения.

$\frac{16a^2}{(4a^2-b^2)^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a} = \frac{16a^2}{((2a-b)(2a+b))^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a} = \frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a}$

6. Сократим общие множители $16a$ и $(2a+b)^2$.

$\frac{a}{(2a-b)^2}$

Ответ: $\frac{a}{(2a-b)^2}$

г) $\frac{4c^2}{(c-2)^4} : \left( \frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{c^2-4} \right)$

1. Рассмотрим выражение в скобках (делитель). Заметим, что $c^2-4 = (c-2)(c+2)$.

$\frac{1}{(c+2)^2} + \frac{2}{(c-2)(c+2)} + \frac{1}{(c-2)^2}$

Это выражение является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = \frac{1}{c+2}$ и $y = \frac{1}{c-2}$.

$\left( \frac{1}{c+2} + \frac{1}{c-2} \right)^2$

2. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю.

$\frac{1}{c+2} + \frac{1}{c-2} = \frac{(c-2)+(c+2)}{(c+2)(c-2)} = \frac{2c}{c^2-4}$

3. Возведем результат в квадрат.

$\left( \frac{2c}{c^2-4} \right)^2 = \frac{4c^2}{(c^2-4)^2}$

4. Теперь выполним деление.

$\frac{4c^2}{(c-2)^4} : \frac{4c^2}{(c^2-4)^2} = \frac{4c^2}{(c-2)^4} \cdot \frac{(c^2-4)^2}{4c^2}$

5. Сократим $4c^2$ и подставим $c^2-4=(c-2)(c+2)$.

$\frac{((c-2)(c+2))^2}{(c-2)^4} = \frac{(c-2)^2(c+2)^2}{(c-2)^4}$

6. Сократим $(c-2)^2$.

$\frac{(c+2)^2}{(c-2)^2} = \left(\frac{c+2}{c-2}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{c+2}{c-2}\right)^2$