Номер 238, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 238, страница 56.

238. Найдите такие значения a и b, при которых выполняется тождество:

a) $ \frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} $

б) $ \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2} $

а) Чтобы равенство $\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}$ было тождеством, необходимо, чтобы оно выполнялось для всех допустимых значений $x$. Для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$ приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:
$\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3)}{(x-2)(x+3)} + \frac{b(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)}$
Теперь мы можем приравнять числители левой и правой частей исходного уравнения, так как их знаменатели равны:
$5x = a(x+3) + b(x-2)$
Это равенство должно быть верным для любого значения $x$. Для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ можно подставить в это равенство конкретные значения $x$. Удобнее всего выбирать значения, которые обнуляют один из множителей в скобках.
1. Подставим $x=2$:
$5 \cdot 2 = a(2+3) + b(2-2)$
$10 = a \cdot 5 + b \cdot 0$
$10 = 5a$
$a = 2$
2. Подставим $x=-3$:
$5 \cdot (-3) = a(-3+3) + b(-3-2)$
$-15 = a \cdot 0 + b \cdot (-5)$
$-15 = -5b$
$b = 3$
Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.
Ответ: $a=2, b=3$.

б) Решим второе тождество $\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2}$ аналогичным методом.
Сначала приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2)}{(x-5)(x+2)} - \frac{b(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) - b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$
Приравниваем числители:
$5x+31 = a(x+2) - b(x-5)$
Данное равенство является тождеством. Подставим в него значения $x$, которые являются корнями знаменателя.
1. Подставим $x=5$:
$5 \cdot 5 + 31 = a(5+2) - b(5-5)$
$25 + 31 = a \cdot 7 - b \cdot 0$
$56 = 7a$
$a = 8$
2. Подставим $x=-2$:
$5 \cdot (-2) + 31 = a(-2+2) - b(-2-5)$
$-10 + 31 = a \cdot 0 - b \cdot (-7)$
$21 = 7b$
$b = 3$
Мы нашли значения $a$ и $b$, при которых выполняется тождество.
Ответ: $a=8, b=3$.