Номер 239, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 239, страница 57.

239. Упростите выражение:

a) $\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab}$

б) $\frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab}$

а)

Дано выражение: $ \frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab} $.

Для упрощения выражения разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, используя метод группировки.

1. Числитель первой дроби: $ a^2 + ax + ab + bx = (a^2 + ax) + (ab + bx) = a(a+x) + b(a+x) = (a+x)(a+b) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ a^2 - ax - ab + bx = (a^2 - ab) - (ax - bx) = a(a-b) - x(a-b) = (a-b)(a-x) $.

3. Числитель второй дроби: $ a^2 - ax - bx + ab = (a^2 + ab) - (ax + bx) = a(a+b) - x(a+b) = (a-x)(a+b) $.

4. Знаменатель второй дроби: $ a^2 + ax - bx - ab = (a^2 - ab) + (ax - bx) = a(a-b) + x(a-b) = (a-b)(a+x) $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$ \frac{(a+x)(a+b)}{(a-b)(a-x)} \cdot \frac{(a-x)(a+b)}{(a-b)(a+x)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($ (a+x) $ и $ (a-x) $):

$ \frac{\cancel{(a+x)}(a+b)}{(a-b)\cancel{(a-x)}} \cdot \frac{\cancel{(a-x)}(a+b)}{(a-b)\cancel{(a+x)}} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a-b)} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2 $

б)

Дано выражение: $ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab} $.

Заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} \cdot \frac{x^2 - bx - ax + ab}{x^2 + bx + ax + ab} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели, используя метод группировки.

1. Числитель первой дроби: $ x^2 - bx + ax - ab = (x^2 - bx) + (ax - ab) = x(x-b) + a(x-b) = (x-b)(x+a) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ x^2 + bx - ax - ab = (x^2 + bx) - (ax + ab) = x(x+b) - a(x+b) = (x+b)(x-a) $.

3. Числитель второй дроби: $ x^2 - bx - ax + ab = (x^2 - bx) - (ax - ab) = x(x-b) - a(x-b) = (x-b)(x-a) $.

4. Знаменатель второй дроби: $ x^2 + bx + ax + ab = (x^2 + bx) + (ax + ab) = x(x+b) + a(x+b) = (x+b)(x+a) $.

Подставим разложенные выражения обратно:

$ \frac{(x-b)(x+a)}{(x+b)(x-a)} \cdot \frac{(x-b)(x-a)}{(x+b)(x+a)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($ (x+a) $ и $ (x-a) $):

$ \frac{(x-b)\cancel{(x+a)}}{(x+b)\cancel{(x-a)}} \cdot \frac{(x-b)\cancel{(x-a)}}{(x+b)\cancel{(x+a)}} = \frac{(x-b)(x-b)}{(x+b)(x+b)} = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2} = \left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2 $