Номер 235, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 235, страница 56.

235. При каком значении a тождественно равны выражения:

а) $ \frac{2x}{x+3} $ и $ 2 + \frac{a}{x+3} $;

б) $ \frac{x}{x-5} $ и $ 1 + \frac{a}{x-5} $;

в) $ \frac{2x}{3-x} $ и $ \frac{a}{3-x} - 2 $;

г) $ \frac{x+2}{5-x} $ и $ \frac{a}{5-x} - 1 $?

Чтобы два выражения были тождественно равны, они должны быть равны для всех допустимых значений переменной x. Это означает, что после приведения к общему знаменателю и упрощения, числители этих выражений должны быть равны.

а)

Даны выражения $\frac{2x}{x+3}$ и $2 + \frac{a}{x+3}$.

Приравняем их:

$\frac{2x}{x+3} = 2 + \frac{a}{x+3}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $x+3$:

$2 + \frac{a}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{a}{x+3} = \frac{2x+6+a}{x+3}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{2x}{x+3} = \frac{2x+6+a}{x+3}$

Поскольку знаменатели равны, приравниваем числители:

$2x = 2x + 6 + a$

Вычтем $2x$ из обеих частей уравнения:

$0 = 6 + a$

$a = -6$

Ответ: $a = -6$.

б)

Даны выражения $\frac{x}{x-5}$ и $1 + \frac{a}{x-5}$.

Приравняем их:

$\frac{x}{x-5} = 1 + \frac{a}{x-5}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $x-5$:

$1 + \frac{a}{x-5} = \frac{1(x-5)}{x-5} + \frac{a}{x-5} = \frac{x-5+a}{x-5}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{x}{x-5} = \frac{x-5+a}{x-5}$

Приравниваем числители:

$x = x - 5 + a$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$0 = -5 + a$

$a = 5$

Ответ: $a = 5$.

в)

Даны выражения $\frac{2x}{3-x}$ и $\frac{a}{3-x} - 2$.

Приравняем их:

$\frac{2x}{3-x} = \frac{a}{3-x} - 2$

Приведем правую часть к общему знаменателю $3-x$:

$\frac{a}{3-x} - 2 = \frac{a}{3-x} - \frac{2(3-x)}{3-x} = \frac{a - 2(3-x)}{3-x} = \frac{a - 6 + 2x}{3-x}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{2x}{3-x} = \frac{a - 6 + 2x}{3-x}$

Приравниваем числители:

$2x = a - 6 + 2x$

Вычтем $2x$ из обеих частей:

$0 = a - 6$

$a = 6$

Ответ: $a = 6$.

г)

Даны выражения $\frac{x+2}{5-x}$ и $\frac{a}{5-x} - 1$.

Приравняем их:

$\frac{x+2}{5-x} = \frac{a}{5-x} - 1$

Приведем правую часть к общему знаменателю $5-x$:

$\frac{a}{5-x} - 1 = \frac{a}{5-x} - \frac{1(5-x)}{5-x} = \frac{a-(5-x)}{5-x} = \frac{a-5+x}{5-x}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{x+2}{5-x} = \frac{a-5+x}{5-x}$

Приравниваем числители:

$x + 2 = a - 5 + x$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$2 = a - 5$

$a = 2 + 5$

$a = 7$

Ответ: $a = 7$.