Номер 228, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 228, страница 55.

228. Упростите выражение:

a) $ \frac{mn+1}{m+n} + \frac{mn-1}{m-n} $

б) $ \frac{x+4a}{3a+3x} - \frac{a-4x}{3a-3x} $

а) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $ \frac{mn+1}{m+n} $ и $ \frac{mn-1}{m-n} $ равен $ (m+n)(m-n) $, что по формуле разности квадратов равно $ m^2-n^2 $.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (m-n) $, а второй дроби на $ (m+n) $:

$ \frac{mn+1}{m+n} + \frac{mn-1}{m-n} = \frac{(mn+1)(m-n)}{(m+n)(m-n)} + \frac{(mn-1)(m+n)}{(m-n)(m+n)} $

Теперь сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$ \frac{(mn+1)(m-n) + (mn-1)(m+n)}{m^2-n^2} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (mn+1)(m-n) = mn \cdot m - mn \cdot n + 1 \cdot m - 1 \cdot n = m^2n - mn^2 + m - n $

$ (mn-1)(m+n) = mn \cdot m + mn \cdot n - 1 \cdot m - 1 \cdot n = m^2n + mn^2 - m - n $

Сложим полученные выражения в числителе:

$ (m^2n - mn^2 + m - n) + (m^2n + mn^2 - m - n) = m^2n - mn^2 + m - n + m^2n + mn^2 - m - n $

Приведем подобные слагаемые:

$ (m^2n+m^2n) + (-mn^2+mn^2) + (m-m) + (-n-n) = 2m^2n - 2n $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2m^2n - 2n}{m^2-n^2} $

Можно вынести общий множитель $ 2n $ в числителе: $ \frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2} $. Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{2m^2n - 2n}{m^2-n^2} $.

б) Сначала упростим знаменатели дробей, вынеся общий множитель за скобки:

$ \frac{x+4a}{3a+3x} - \frac{a-4x}{3a-3x} = \frac{x+4a}{3(a+x)} - \frac{a-4x}{3(a-x)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $ 3(a+x)(a-x) $, что по формуле разности квадратов равно $ 3(a^2-x^2) $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a-x) $, а второй дроби на $ (a+x) $:

$ \frac{(x+4a)(a-x)}{3(a+x)(a-x)} - \frac{(a-4x)(a+x)}{3(a-x)(a+x)} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(x+4a)(a-x) - (a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (x+4a)(a-x) = xa - x^2 + 4a^2 - 4ax = 4a^2 - 3ax - x^2 $

$ (a-4x)(a+x) = a^2 + ax - 4ax - 4x^2 = a^2 - 3ax - 4x^2 $

Подставим раскрытые выражения в числитель и выполним вычитание (обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой):

$ (4a^2 - 3ax - x^2) - (a^2 - 3ax - 4x^2) = 4a^2 - 3ax - x^2 - a^2 + 3ax + 4x^2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (4a^2 - a^2) + (-3ax + 3ax) + (-x^2 + 4x^2) = 3a^2 + 3x^2 $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{3a^2 + 3x^2}{3(a^2-x^2)} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{3(a^2 + x^2)}{3(a^2 - x^2)} = \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2} $

Ответ: $ \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2} $.