Номер 230, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 230, страница 55.

230. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения равно нулю:

$\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)}.$

Чтобы доказать, что значение данного выражения равно нулю при всех допустимых значениях переменных, необходимо привести все дроби к общему знаменателю и выполнить сложение.

Исходное выражение: $$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} $$

Допустимыми значениями переменных являются те, при которых ни один из знаменателей не обращается в ноль. Это означает, что $ a \neq b $, $ b \neq c $ и $ c \neq a $.

Знаменатели дробей составлены из трех различных множителей: $ (a-b) $, $ (b-c) $ и $ (c-a) $. Следовательно, общий знаменатель для этих трех дробей — это их произведение: $ (a-b)(b-c)(c-a) $.

Приведем каждую дробь к этому общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающий множитель:

• Для первой дроби $ \frac{1}{(a-b)(b-c)} $ дополнительным множителем является $ (c-a) $. Получаем: $$ \frac{1 \cdot (c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
• Для второй дроби $ \frac{1}{(c-a)(a-b)} $ дополнительным множителем является $ (b-c) $. Получаем: $$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(c-a)(a-b)(b-c)} = \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
• Для третьей дроби $ \frac{1}{(b-c)(c-a)} $ дополнительным множителем является $ (a-b) $. Получаем: $$ \frac{1 \cdot (a-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)} = \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Теперь сложим полученные дроби: $$ \frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители: $$ \frac{(c-a) + (b-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $$ c - a + b - c + a - b = (a - a) + (b - b) + (c - c) = 0 + 0 + 0 = 0 $$

В результате все выражение становится равным: $$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Поскольку для всех допустимых значений переменных знаменатель $ (a-b)(b-c)(c-a) $ не равен нулю, а числитель равен нулю, то значение всего выражения равно нулю. Это доказывает утверждение.

Ответ: После приведения дробей к общему знаменателю $ (a-b)(b-c)(c-a) $ и сложения, числитель полученной дроби становится равным $ (c-a) + (b-c) + (a-b) = 0 $. Так как знаменатель не равен нулю при допустимых значениях переменных, все выражение тождественно равно нулю.