Номер 229, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 229, страница 55.

229. Упростите выражение:

a) $\frac{2y^2 - y}{y^2 - y + \frac{1}{4}} - \frac{2y^2 + y}{y^2 + y + \frac{1}{4}} - \frac{1}{y^2 - \frac{1}{4}}$

б) $\frac{6a}{2,5a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2}$

а) $ \frac{2y^2 - y}{y^2 - y + \frac{1}{4}} - \frac{2y^2 + y}{y^2 + y + \frac{1}{4}} - \frac{1}{y^2 - \frac{1}{4}} $

Первым шагом разложим на множители знаменатели дробей. Мы видим, что первые два знаменателя являются полными квадратами (квадрат разности и квадрат суммы), а третий — разностью квадратов.

Знаменатель первой дроби: $y^2 - y + \frac{1}{4} = y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})^2$.

Знаменатель второй дроби: $y^2 + y + \frac{1}{4} = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y + \frac{1}{2})^2$.

Знаменатель третьей дроби: $y^2 - \frac{1}{4} = y^2 - (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})$.

Теперь разложим на множители числители первых двух дробей, вынеся общий множитель за скобки:

Числитель первой дроби: $2y^2 - y = y(2y - 1)$. Заметим, что $2y - 1 = 2(y - \frac{1}{2})$.

Числитель второй дроби: $2y^2 + y = y(2y + 1)$. Заметим, что $2y + 1 = 2(y + \frac{1}{2})$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$ \frac{y \cdot 2(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})^2} - \frac{y \cdot 2(y + \frac{1}{2})}{(y + \frac{1}{2})^2} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

Сократим первые две дроби (при условии, что $y \neq \pm\frac{1}{2}$):

$ \frac{2y}{y - \frac{1}{2}} - \frac{2y}{y + \frac{1}{2}} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})$:

$ \frac{2y(y + \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} - \frac{2y(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{2y(y + \frac{1}{2}) - 2y(y - \frac{1}{2}) - 1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} = \frac{(2y^2 + y) - (2y^2 - y) - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y^2 + y - 2y^2 + y - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} $

Разложим числитель на множители $2y - 1 = 2(y - \frac{1}{2})$ и подставим в выражение:

$ \frac{2(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

Сократим дробь на общий множитель $(y - \frac{1}{2})$:

$ \frac{2}{y + \frac{1}{2}} $

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2 \cdot 2}{(y + \frac{1}{2}) \cdot 2} = \frac{4}{2y + 1} $

Ответ: $ \frac{4}{2y+1} $.

б) $ \frac{6a}{2,5a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2} $

В данном выражении, вероятно, допущена опечатка в знаменателе первой дроби. Для того чтобы выражение можно было осмысленно упростить, скорее всего, имелось в виду $2,25a^2$ вместо $2,5a^2$, так как это позволяет использовать формулу разности квадратов и получить члены, связанные со вторым знаменателем. Решим задачу с этим исправлением.

Исправленное выражение: $ \frac{6a}{2,25a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2} $

Разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель — это разность квадратов, а во втором можно вынести общий множитель.

Знаменатель первой дроби: $2,25a^2 - 0,64 = (1,5a)^2 - (0,8)^2 = (1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)$.

Знаменатель второй дроби: $6a - 3,2 = 4(1,5a - 0,8)$.

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$ \frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} - \frac{8}{4(1,5a - 0,8)} $

Упростим вторую дробь:

$ \frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} - \frac{2}{1,5a - 0,8} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)$:

$ \frac{6a - 2(1,5a + 0,8)}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{6a - 3a - 1,6}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} = \frac{3a - 1,6}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2:

$ \frac{2(1,5a - 0,8)}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

Сократим дробь на общий множитель $(1,5a - 0,8)$ (при условии, что $1,5a - 0,8 \neq 0$):

$ \frac{2}{1,5a + 0,8} $

Чтобы избавиться от десятичных дробей в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{2 \cdot 10}{(1,5a + 0,8) \cdot 10} = \frac{20}{15a + 8} $

Ответ: $ \frac{20}{15a+8} $.