Номер 232, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 232, страница 56.

232. Докажите, что тождественно равны выражения $ \frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)} $ и $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $.

Чтобы доказать, что данные выражения тождественно равны, необходимо упростить первое, более сложное выражение, и показать, что оно равно второму.

Исходное выражение:

$\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей с знаменателями $(a - b)(x + y)$ и $(a + b)(x + y)$ будет $(a - b)(a + b)(x + y)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(a + b)$, а второй — на $(a - b)$:

$\frac{(ax + by)(a + b)}{(a - b)(a + b)(x + y)} - \frac{(bx - ay)(a - b)}{(a + b)(a - b)(x + y)}$

Теперь выполним вычитание дробей. В знаменателе используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$\frac{(ax + by)(a + b) - (bx - ay)(a - b)}{(a^2 - b^2)(x + y)}$

Раскроем скобки в числителе. Сначала раскроем каждое произведение отдельно:

$(ax + by)(a + b) = ax \cdot a + ax \cdot b + by \cdot a + by \cdot b = a^2x + abx + aby + b^2y$

$(bx - ay)(a - b) = bx \cdot a + bx \cdot (-b) - ay \cdot a - ay \cdot (-b) = abx - b^2x - a^2y + aby$

Подставим полученные выражения в числитель дроби:

$(a^2x + abx + aby + b^2y) - (abx - b^2x - a^2y + aby)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знак каждого слагаемого на противоположный:

$a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby$

Приведем подобные слагаемые. Члены $abx$ и $aby$ взаимно уничтожаются:

$(abx - abx) + (aby - aby) + a^2x + b^2x + a^2y + b^2y = a^2x + b^2x + a^2y + b^2y$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^2x + b^2x) + (a^2y + b^2y) = x(a^2 + b^2) + y(a^2 + b^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 + b^2)$:

$(x + y)(a^2 + b^2)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(x + y)(a^2 + b^2)}{(a^2 - b^2)(x + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + y)$. Это возможно, так как в области определения исходного выражения $x+y \neq 0$.

$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

Полученное выражение в точности совпадает со вторым выражением. Следовательно, исходные выражения тождественно равны.

Ответ: В результате упрощения выражения $\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)}$ было получено выражение $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$, что и доказывает тождественное равенство данных выражений.